Mengapa Martin-Löf perlu menciptakan teori tipe intuitionistic?

Saya telah membaca tentang Teori Jenis Intuitionistic (ITT) dan itu masuk akal. Tetapi apa yang saya perjuangkan untuk mengerti adalah "mengapa" pertama-tama diciptakan?

Intuitionistic Logic (IL) dan Simply-typed -calculus (STLC) dan teori tipe pada umumnya mendahului keberadaan Martin-Löf sendiri! Tampaknya seseorang dapat melakukan segala sesuatu di STLC yang bisa dilakukan di ITT (saya mungkin salah, tapi setidaknya rasanya seperti itu). $\lambda$

Jadi apa "novel" tentang ITT dan bagaimana tepatnya (atau tidak) memajukan teori perhitungan? Dari apa yang saya mengerti, dia memperkenalkan gagasan tentang "tipe dependen", tetapi tampaknya mereka sudah ada di STLC. Apakah ITT-nya merupakan upaya abstraksi untuk memahami prinsip-prinsip dasar STLC dan IL? Tapi bukankah STLC sudah melakukannya? Jadi, mengapa ITT diciptakan sejak awal? Apa intinya?

Berikut kutipan dari Wikipedia : Tapi saya masih belum mendapatkan alasan di balik pembuatannya yang belum ada sebelumnya.

Artikel rancangan Martin-Löf yang pertama tentang teori tipe berawal pada tahun 1971. Teori impredikatif ini menggeneralisasikan Sistem F. Girard. Namun, sistem ini ternyata tidak konsisten karena paradoks Girard yang ditemukan oleh Girard ketika mempelajari System U, perpanjangan Sistem yang tidak konsisten. F. Pengalaman ini mendorong Per Martin-Löf untuk mengembangkan fondasi filosofis dari teori tipe, penjelasan maknanya, suatu bentuk semantik teoritik pembuktian, yang membenarkan teori tipe predikatif seperti yang disajikan dalam bukunya di Bibliopolis 1984 ...

Tampaknya dari kutipan bahwa alasannya adalah untuk mengembangkan " fondasi filosofis dari teori tipe " - saya pikir yayasan ini sudah ada (atau mungkin saya berasumsi demikian). Apakah ini alasan utama?

— PhD
sumber

Jika saya ingat dengan benar alasan dia melakukannya adalah sedikit filosofis (fondasi konstruktif matematika) dan bukan hanya teknis, tetapi sudah beberapa waktu sejak saya menghadiri kuliahnya dan saya tidak memiliki catatan dari mereka dengan saya untuk melihat naik. Tempat yang baik untuk mencari pemahaman yang lebih baik tentang karya Martin-Lof dan perbandingannya dengan teori lain adalah "Yayasan Matematika Konstruktif" Beeson. Ini memiliki bab yang ditujukan untuk itu.

— Kaveh

ps: Anda mungkin ingin mengedit judul agar sesuai dengan apa yang Anda minta di dalam tubuh, saat ini judul tampaknya menanyakan apa yang baru dalam teori Martin-Lof, sementara tubuh tampaknya bertanya mengapa ia melakukannya.

— Kaveh

$\lambda$

Menggunakan aturan Leibniz tentang identitas yang tidak dapat dibedakan untuk menyandikan kesetaraan proposisional. Pendekatan ini digunakan dalam kalkulus konstruksi, tetapi membutuhkan alam semesta impredikatif yang ditolak oleh Martin-Löf karena alasan filosofis.
Karakterisasi konstruktif langsung kesetaraan. Memberikan karakterisasi seperti itu menggunakan tipe-tipe identitas mungkin merupakan kebaruan utama dari teori tipe intuitionistic Martin-Löf.

Tipe-tipe identitas tampak sederhana hari ini, tetapi mereka kembali memusatkan pengertian teori-tipe karena mereka memunculkan pertanyaan semantik yang menarik seperti: apakah bukti identitas itu unik? Dalam beberapa hal pertanyaan ini mengarah pada teori tipe homotopy dan aksioma univalensi (yang tidak sesuai dengan keunikan identitas). Bahwa keunikan bukti identitas tidak dapat diturunkan dalam teori tipe intuitionistic Martin-Lof ditunjukkan oleh Hofmann dan Streicher dalam: "Interpretasi groupoid dari teori tipe". Secara kebetulan, hasil ini juga menunjukkan bahwa pencocokan pola bukanlah perpanjangan konservatif dari teori tipe tradisional.

— Martin Berger
sumber