Ketepatan numerik dalam metode jumlah kotak?

Saya telah membaca sedikit tentang metode sum-of-square (SOS) dari survei Barak & Steurer dan catatan kuliah Barak . Dalam kedua kasus mereka menyapu masalah akurasi numerik di bawah karpet.

Dari pemahaman saya (yang diakui terbatas) tentang metode ini, hal-hal berikut ini harus benar:

Dengan adanya sistem persamaan polinomial $E$ atas variabel bernilai riil $x \in \mathbb{R}^n$ , di mana semua parameter adalah $O(1)$ ( $n$ , $|E|$ , dan derajat dari setiap kendala), derajat- " $2n$ " ( $=O(1)$ ) Metode SOS menemukan penugasan yang memuaskan dari variabel atau membuktikan tidak ada dalam waktu $O(1)$ .

Pertanyaan pertama saya adalah apakah klaim di atas benar (adakah argumen naif yang tidak menggunakan SOS untuk menyelesaikan ini?). Pertanyaan kedua adalah di mana akurasi numerik cocok. Jika saya ingin mendapatkan tugas yang memenuhi semua kendala dalam akurasi aditif $\varepsilon$ , bagaimana runtime bergantung pada $1/\varepsilon$ ? Secara khusus, apakah jumlahnya banyak?

Motivasi untuk ini adalah, katakanlah, menerapkan pendekatan divide-and-menaklukkan pada sistem besar sampai kasus dasar adalah sistem ukuran $O(1)$ .

EDIT: Dari Barak-Steurer, tampak bahwa "derajat jumlah algoritma kuadrat" pada hal.9 (dan paragraf yang mengarah ke sana) semua mendefinisikan masalah untuk solusi lebih dari R , dan pada kenyataannya definisi pseudo -Distribusi di bagian 2.2 adalah lebih R . Sekarang saya melihat dari Lemma 2.2, bagaimanapun, bahwa seseorang tidak dijamin solusi / sanggahan pada derajat 2 n tanpa variabel biner.$l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

Jadi saya bisa memperbaiki pertanyaan saya sedikit. Jika variabel Anda bukan biner, yang dikhawatirkan adalah urutan output tidak terbatas (bahkan mungkin tidak meningkat secara monoton?). Jadi pertanyaannya adalah: apakah φ ( l ) masih meningkat? Dan jika demikian, seberapa jauh Anda harus pergi untuk mendapatkan akurasi aditif ε ?$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

Meskipun kemungkinan ini tidak mengubah apa pun, kebetulan saya tahu sistem saya memuaskan (tidak ada penyangkalan tingkat apa pun), jadi saya benar-benar hanya peduli tentang seberapa besar kebutuhan . Akhirnya, saya tertarik pada solusi teoritis, bukan pemecah numerik.$l$

Inilah komentar Boaz Barak tentang masalah ini:

Kami melakukan akurasi numerik di bawah permadani - literatur SOS yang lebih "tradisional" dari Parrilo, Lasserre dll. Membahas masalah-masalah ini (misalnya, lihat survei Monique Laurent dan referensi di dalamnya). Diketahui bahwa hirarki adalah monoton (tidak sulit untuk melihat bahwa suatu derajat distribusi psuedo khususnya derajat l - 1 satu), dan bahwa ia akan konvergen dalam derajat yang terbatas untuk setiap set persamaan persamaan (ini adalah Positivstellensatz). Tingkat pastinya bisa bervariasi. Secara umum, jika semua koefisien dari polinomial dibatasi dan Anda mencoba untuk membedakan antara case yang ada solusinya dan case yang dalam setiap penugasan salah satu persamaan dimatikan oleh ϵ , maka seseorang dapat melarutkannya ke sebuah$l$$l-1$$\epsilon$ -net untuk δ terkait dengan jumlah variabel, derajat persamaan, dan ϵ , dan kemudian (dengan asumsi net cukup "bagus" dan "mirip kubus"), derajat yang diperlukan harus secara kasar mencatat ukuran net.$\delta$$\delta$$\epsilon$

Saya pikir jawaban saya mungkin tidak cukup, tetapi tetap untuk kelengkapan (meskipun lihat komentar Boaz di bawah untuk kemungkinan jawaban yang lebih baik)

Ketika kita membatasi diri pada variabel boolean, klaim dapat dilihat ketika untuk semua i ∈ [ n ] dengan pengamatan bahwa derajat $(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$ distribusi semu adalah distribusi aktual, yaitu, misalkan Anda memiliki distribusi semu μ ( x ) lebih dari solusi x persamaan polinomial Anda E memuaskan:$2n$$\mu(x)$$x$$E$

dan  x ∈ { - 1 , 1 } n μ ( x $\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$ untuk semua polinomial p dengan derajat paling banyak$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

Tetapi derajat polinomial mencakup polinomial indikator (misalnya, x 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 1 memiliki 2 - 3 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) ( 1 - x 2 ) ( 1 + $n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$ yang semua nol di tempat lain dan 1 pada tugas itu). Jadi μ ( x ) ≥ 0 untuk semua x ∈ $2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$ , sehingga kami menyimpulkan μ adalah distribusi yang sebenarnya atas solusi dari E . Derajat ℓ distribusi semu dapat ditemukan dengan menggunakan pemrograman semidefinit untuk menemukan derajat terkait ℓ operator ekspektasi semu dalam waktu n O ( ℓ ) , sehingga kita dapat menemukan distribusi aktual μ dalam waktu n O ( n ) dengan menggunakan pseudo- ekspektasi (sekarang ekspektasi aktual) untuk menemukan semua momen μ .$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$$\mu$

Jadi, jika , maka Anda dapat menemukan distribusi solusi ke E dalam O ( 1 ) waktu. Tentu saja, pencarian brute force menjamin hal yang sama.$|E| = O(1)$$E$$O(1)$

Namun, jika solusi belum tentu boolean, maka derajat- harapan semu tidak cukup untuk menemukan distribusi lebih dari solusi. Seperti dapat dilihat di atas, bukti bahwa derajat 2 n pseudo-distribusi adalah distribusi aktual tergantung pada kenyataan bahwa derajat dan polinomial cukup untuk 'memilih' tugas individu, yang tidak benar secara umum. Cara lain untuk melihatnya adalah bahwa polinomial variabel boolean dipertimbangkan$2n$$2n$$n$, sehingga derajat setiap monomial paling banyak adalahn.$\mod(x_i^2)$$n$

Sebagai contoh, seseorang dapat mempertimbangkan mengganti setiap variabel biner dengan variabel 4-ary, katakan dengan memasukkan . Maka Anda harus memilikipseudo-harapangelar 4 n untuk menjamin pemulihan distribusi atas solusi.$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

Sekarang, untuk jaminan teoretis, sepertinya mendekati akar sistem polinomal juga dikenal sebagai masalah ke-17 Smale, dan tampaknya ada algoritma waktu polinomial acak (Las Vegas) yang memecahkan masalah ini - lihat http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf . Perhatikan bahwa ini tampaknya berada dalam model Blum-Shub-Smale, jadi operasi nyata adalah primitif. Saya tidak yakin apakah ini memberikan jaminan yang Anda butuhkan.