Seberapa mahal untuk menghancurkan semua jalur panjang dalam DAG?


14

Kami menganggap DAGs (diarahkan grafik asiklik) dengan satu node sumber s dan satu sasaran simpul t ; tepi paralel yang bergabung dengan pasangan simpul yang sama diizinkan. Sebuah k - cut adalah satu set tepi yang removal menghancurkan semua s - t jalur lama dari k ; jalur s - lebih pendek tserta jalur "dalam" yang panjang (jalur yang tidak berada di antara s dan t ) dapat bertahan!

Pertanyaan: Apakah cukup untuk menghapus paling banyak sekitar 1/k bagian tepi dari DAG untuk menghancurkan semua jalur s - t lebih lama dari k ?

Yaitu, jika e(G) menunjukkan jumlah total tepi dalam G , apakah setiap DAG G memiliki k -cut dengan paling banyak tentang e(G)/k edge? Dua contoh:

  1. Jika semua jalur s - t memiliki panjang >k , maka potongan k dengan tepi e(G)/k ada. Ini berlaku karena dengan demikian harus ada k disjoint k -cuts: hanya lapisan node G sesuai dengan jaraknya dari node sumber s .
  2. Jika G=Tn adalah turnamen transitif (DAG lengkap), maka juga k potong dengan ada tepi: perbaiki urutan topologi node, pisahkan node menjadi interval panjang berturut-turut , dan hapus semua tepi yang bergabung dengan node dengan interval yang sama; ini akan menghancurkan semua jalur - lebih lama dari . k(n/k2)e(G)/kn / k s t kkn/kstk

Catatan 1: Upaya naif untuk memberikan jawaban positif (yang juga saya coba pertama kali) adalah mencoba menunjukkan bahwa setiap DAG harus memiliki tentang k disjoint k -cuts. Sayangnya, Contoh 2 menunjukkan bahwa upaya ini bisa gagal: melalui argumen yang bagus, David Eppstein telah menunjukkan bahwa, untuk k tentang n , grafikTntidak dapat memiliki lebih dari empatk-potong terputus ! k

Catatan 2: Adalah penting bahwa k -cut hanya perlu menghancurkan semua panjang s - t jalan, dan belum tentu semua jalur panjang. Yaitu, ada 1 DAGs di mana setiap "murni" k potong (menghindari insiden tepi ke s atau t ) harus mengandung hampir semua tepi. Jadi, pertanyaan saya sebenarnya adalah: dapatkah kemungkinan untuk menghapus juga kejadian tepi dengan atau secara substansial mengurangi ukuran -cut? Kemungkinan besar, jawabannya negatif, tetapi saya belum menemukan contoh tandingan. t kstk

Motivasi: Pertanyaan saya termotivasi dengan membuktikan batas bawah untuk jaringan switching-and-rectifier monoton. Jaringan semacam itu hanyalah DAG, sebagian ujung-ujungnya diberi label oleh tes "is ?" (tidak ada tes ). The ukuran jaringan adalah jumlah sisi berlabel. Vektor input diterima, jika adax i = 0xi=1xi=0s - semua tesnya konsisten dengan vektor ini. Markov telah membuktikan bahwa, jika fungsi boolean monoton f tidak memiliki minterm yang lebih pendek dari l dan tidak ada maxterm yang lebih pendek dari w , maka ukuran l wtflwlwdiperlukan. Jawaban positif untuk pertanyaan saya akan menyiratkan bahwa jaringan ukuran sekitar diperlukan, jika setidaknya w k variabel harus diatur ke 0 untuk menghancurkan semua minterm lebih lama dari k .kwkwk0k


1 Konstruksi diberikan dalam makalah ini. Ambil pohon biner dari log kedalaman n . Hapus semua tepi. Untuk setiap simpul dalam v , menggambar tepi untuk v dari setiap daun dari subtree kiri T v , dan tepi dari v ke setiap daun dari subtree kanan T v . Dengan demikian, setiap dua daun T dihubungkan oleh jalur panjang 2 di DAG. DAG itu sendiri memiliki n node dan n log n edge, tetapi Ω ( nTlognvvTvvTvT2nnlogn tepi harus dihilangkan untuk menghancurkan semua jalur yang lebih panjang dariΩ(nlogn) .n


Aliran dan potongan yang terikat panjang terkait erat dengan pertanyaan yang Anda ajukan. Saya sarankan melihat tesis Baier. ftp.math.tu-berlin.de/pub/Preprints/combi/…
Chandra Chekuri

@Chandra Chekuri: terima kasih atas tautannya yang menarik. Tesis ini lebih lanjut tentang teorema Menger yang ditimbang untuk jalur pendek / kekurangan. Mengenai Menger untuk jalur yang panjang , saya menemukan makalah ini : ukuran minimal k-cut paling banyak sekitar k kali jumlah maksimum jalur jalan terputus-putus panjang. Tapi ini juga sepertinya tidak membantu.
Stasys

Maaf, saya salah paham pertanyaannya. Terima kasih untuk referensi lainnya.
Chandra Chekuri

Jawaban:


8

[Jawab sendiri; ini adalah versi singkat, yang lama dapat ditemukan di sini ]

Kami menyadari dengan Georg Schnitger bahwa jawaban untuk pertanyaan saya sangat negatif : ada DAG (bahkan dengan derajat konstan), di mana setiap potongan harus memiliki fraksi yang konstan dari semua sisi, bukan hanya fraksi sekitar 1 / k , seperti pada pertanyaan saya. (Hasil yang sedikit lebih lemah bahwa fraksi 1 / log k mungkin diperlukan dapat diperoleh dengan menggunakan konstruksi yang lebih sederhana yang disebutkan dalam catatan kaki di atas. Tulisan cepat ada di sini ) k1/k1/logk

Yaitu, dalam makalah "Pada pengurangan kedalaman dan gerbang" , Georg membuat urutan grafik asiklik terarah dari derajat maksimum konstan d pada n = m 2 m node dengan properti berikut:Hndn=m2m

  • Untuk setiap konstan ada konstan c > 0 sehingga, jika ada bagian dari paling c n node dihapus dari H n , grafik yang tersisa mengandung jalur panjang setidaknya 2 ε m . 0ϵ<1c>0cnHn2ϵm

Ambil sekarang dua simpul baru dan t , dan gambarlah tepi dari s ke setiap simpul H n , dan satu tepi dari setiap simpul H n ke t . Grafik yang dihasilkan G n masih memiliki paling banyak 2 n + d n = O ( n ) edge.stsHnHntGn2n+dn=O(n)

Untuk setiap konstan , ada konstan c ' > 0 sehingga, jika ada bagian dari paling c ' n tepi dihapus dari G n , grafik tersisa berisi s - t jalan dengan 2 ε m atau lebih banyak tepi. 0ϵ<1c>0cnGnst2ϵm

Bukti: Panggil simpul simpul dalam G n . Hapus subset paling banyak dari c n edge dari G n , di mana c = c / 2 . Setelah itu, lepaskan simpul bagian dalam jika itu insiden ke tepi yang dihapus. Perhatikan bahwa paling 2 c ' n = c n node dalam kemudian dihapus. Tak satu pun dari insiden tepi ke node yang selamat telah dihapus. Secara khusus, setiap simpul dalam yang selamat masih terhubung ke kedua simpul s dan tHn GncnGnc=c/22cn=cnst. Dengan properti di atas dari , harus tetap ada jalan dengan panjang 2 ϵ m yang seluruhnya terdiri dari simpul-simpul dalam yang selamat. Karena titik akhir dari masing-masing jalur ini bertahan, masing-masing dapat diperpanjang ke jalur s - t di G n . QEDHn2ϵmstGn

Konsekuensinya menyedihkan: tidak ada analog apapun dari lemma Markov untuk fungsi dengan banyak minterm pendek , meskipun set minterm panjang memiliki beberapa struktur "rumit": tidak ada batas bawah super-linier pada ukuran jaringan yang kemudian dapat dibuktikan menggunakan argumen "panjang kali lebar" ini.

PS Argumen "panjang kali lebar" ini (ketika semua jalur - t cukup panjang) sebelumnya digunakan oleh Moore dan Shannon (1956). Satu-satunya perbedaan adalah bahwa mereka tidak diizinkan memperbaiki (tepi berlabel). Jadi, ini sebenarnya adalah "argumen Moore-Shannon-Markov".st

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.