Kami menganggap DAGs (diarahkan grafik asiklik) dengan satu node sumber dan satu sasaran simpul ; tepi paralel yang bergabung dengan pasangan simpul yang sama diizinkan. Sebuah - cut adalah satu set tepi yang removal menghancurkan semua - jalur lama dari ; jalur - lebih pendek serta jalur "dalam" yang panjang (jalur yang tidak berada di antara dan ) dapat bertahan!
Pertanyaan: Apakah cukup untuk menghapus paling banyak sekitar bagian tepi dari DAG untuk menghancurkan semua jalur - lebih lama dari ?
Yaitu, jika menunjukkan jumlah total tepi dalam , apakah setiap DAG memiliki -cut dengan paling banyak tentang edge? Dua contoh:
- Jika semua jalur - memiliki panjang , maka potongan dengan tepi ada. Ini berlaku karena dengan demikian harus ada disjoint -cuts: hanya lapisan node sesuai dengan jaraknya dari node sumber .
- Jika adalah turnamen transitif (DAG lengkap), maka juga potong dengan ada tepi: perbaiki urutan topologi node, pisahkan node menjadi interval panjang berturut-turut , dan hapus semua tepi yang bergabung dengan node dengan interval yang sama; ini akan menghancurkan semua jalur - lebih lama dari . n / k s t k
Catatan 1: Upaya naif untuk memberikan jawaban positif (yang juga saya coba pertama kali) adalah mencoba menunjukkan bahwa setiap DAG harus memiliki tentang disjoint -cuts. Sayangnya, Contoh 2 menunjukkan bahwa upaya ini bisa gagal: melalui argumen yang bagus, David Eppstein telah menunjukkan bahwa, untuk tentang , grafiktidak dapat memiliki lebih dari empatk-potong terputus !
Catatan 2: Adalah penting bahwa -cut hanya perlu menghancurkan semua panjang - jalan, dan belum tentu semua jalur panjang. Yaitu, ada 1 DAGs di mana setiap "murni" potong (menghindari insiden tepi ke atau ) harus mengandung hampir semua tepi. Jadi, pertanyaan saya sebenarnya adalah: dapatkah kemungkinan untuk menghapus juga kejadian tepi dengan atau secara substansial mengurangi ukuran -cut? Kemungkinan besar, jawabannya negatif, tetapi saya belum menemukan contoh tandingan. t k
Motivasi: Pertanyaan saya termotivasi dengan membuktikan batas bawah untuk jaringan switching-and-rectifier monoton. Jaringan semacam itu hanyalah DAG, sebagian ujung-ujungnya diberi label oleh tes "is ?" (tidak ada tes ). The ukuran jaringan adalah jumlah sisi berlabel. Vektor input diterima, jika adax i = 0 - semua tesnya konsisten dengan vektor ini. Markov telah membuktikan bahwa, jika fungsi boolean monoton f tidak memiliki minterm yang lebih pendek dari l dan tidak ada maxterm yang lebih pendek dari w , maka ukuran l ⋅ wdiperlukan. Jawaban positif untuk pertanyaan saya akan menyiratkan bahwa jaringan ukuran sekitar diperlukan, jika setidaknya w k variabel harus diatur ke 0 untuk menghancurkan semua minterm lebih lama dari k .
1 Konstruksi diberikan dalam makalah ini. Ambil pohon biner dari log kedalaman n . Hapus semua tepi. Untuk setiap simpul dalam v , menggambar tepi untuk v dari setiap daun dari subtree kiri T v , dan tepi dari v ke setiap daun dari subtree kanan T v . Dengan demikian, setiap dua daun T dihubungkan oleh jalur panjang 2 di DAG. DAG itu sendiri memiliki ∼ n node dan ∼ n log n edge, tetapi Ω ( n tepi harus dihilangkan untuk menghancurkan semua jalur yang lebih panjang dari √ .