Jika adalah diarahkan grafik -regular dan adalah bagian dari simpul-simpul kardinalitas , sebut ekspansi tepi dari kuantitas
Dimana adalah jumlah sisi dengan satu titik akhir di dan satu titik akhir di . Maka masalah Edge Expansion adalah menemukan himpunan dengan yang meminimalkan . Sebut perluasan dari set optimal.
The Algoritma Partisi spektral untuk masalah Ujung Ekspansi bekerja dengan mencari vektor eigen dari nilai eigen terbesar kedua , matriks ketetanggaan dari , dan kemudian mempertimbangkan semua `` ambang batas set '' dalam bentuk atas semua ambang batas . Jika kita membiarkan menjadi nilai eigen terbesar kedua dari matriks , maka analisis Algoritma Pemisahan Spektral menunjukkan bahwa set ambang terbaik ditemukan oleh algoritma memenuhi
Yang mengikuti dari Ketidaksetaraan Cheeger's
dan
Apa makalah pertama yang membuat klaim seperti itu? Makalah apa yang memberi penghargaan untuk ide-ide itu? Inilah yang saya dapatkan:
-
N. Alon dan VD Milman. , ketidaksetaraan isoperimetrik untuk grafik, dan superkonsentrator, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1985, 38 (1): 73-88
Buktikan hasil dalam semangat "sederhana" Ketidakseimbangan Cheeger , tetapi untuk ekspansi verteks alih-alih ekspansi tepi. Mengakui bahwa hubungan antara ekspansi tepi dan nilai eigen adalah versi diskrit dari masalah yang dipelajari oleh Cheeger di
J. Cheeger. Batas bawah untuk nilai eigen terkecil dari Laplacian. Masalah dalam Analisis, 1970.
- N. Alon. Nilai eigen dan ekspander. Combinatorica. 6 (2): 83-96, 1986.
Membuktikan hasil dalam semangat ketidaksetaraan Cheeger yang sulit tetapi untuk ekspansi vertex alih-alih ekspansi edge.
- A. Sinclair, M. Jerrum. Perkiraan penghitungan, pembentukan seragam, dan pencampuran rantai Markov dengan cepat. Informasi dan Komputasi 82: 93-133, 1989 (Versi konferensi 1987)
Buktikan ketidaksetaraan Cheeger sebagaimana disebutkan di atas. (Makalah mereka mempelajari _konduktansi_ rantai Markov yang dapat dibalik waktu, yang terjadi sama dengan _edge expansion_ dalam grafik reguler.) Mereka menghargai karya Alon dan Milman dan Alon untuk tekniknya. Mereka juga memuji Aldous untuk ikatan terkait antara waktu pencampuran dan ekspansi edge dalam grafik reguler.
- M Mihail. Konduktansi dan konvergensi rantai Markov - perlakuan kombinasi ekspander. FOCS 1989, halaman 526-531
Sementara poin utama dari makalah ini adalah bahwa tekniknya berlaku untuk rantai Markov non-waktu-reversibel, ketika diterapkan pada grafik tidak berarah reguler, ia memiliki keunggulan dibandingkan karya sebelumnya: itu menunjukkan bahwa jika seseorang menjalankan algoritme partisiig spektral dengan arbitrary vektor, kita masih mendapatkan ketimpangan mana adalah hasil bagi Rayleigh dari vektor. Argumen Alon, Milman, Sinclair dan Jerrum membutuhkan vektor eigen yang sebenarnya. Ini relevan dengan algoritma partisi spektral cepat yang menggunakan perkiraan vektor eigen.
Kapan signifikansi algoritmik dari hasil di atas, sebagai algoritma partisi grafik, pertama kali dikenali? Makalah di atas tidak memiliki diskusi seperti itu.