Konsekuensi dari PIT lebih dari

Diberikan sedemikian sehingga koefisien p , q dibatasi oleh B , apakah p ≡ q tahan ?$p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$$p,q$$B$$p\equiv q$

Lemma Schwartz-Zippel berlaku di sini karena berlaku untuk bidang umum dan dan ada algoritma acak yang efisien untuk masalah ini.$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Kami berharap masalah ini memiliki derandomisasi yang efisien.

Apa akibatnya jika masalah ini tidak memiliki derandomisasi yang efisien?

Karena PIT dalam , jika tidak ada derandomisasi yang efisien maka P ≠ R P (dan, khususnya, P ≠ N P , tetapi itu tidak begitu mengejutkan, karena kami berharap hal itu benar adanya). Ini juga menyiratkan, tentu saja, bahwa P ≠ B P P , jadi apa pun yang menyiratkan P = B P P menjadi salah. Misalnya, generator nomor pseudorandom yang cukup kuat tidak ada, dan E = D T I M E ( 2 $\mathsf{coRP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$akan memiliki sirkuit ukuran subeksponensial!$\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

Anda bertanya-tanya tentang masalah gambaran besar di sini. Bilangan alami dapat secara kanonik terwakili dalam notasi unary, tetapi representasi ini tidak efisien dalam ruang. Anda juga bisa mewakilinya dalam notasi biner, yang lebih efisien ruang, tetapi tidak lagi kanonik, karena Anda juga bisa menggunakan notasi tenary, atau notasi desimal. Tetapi perhatikan bahwa representasi oleh sirkuit tidak secara signifikan kurang efisien daripada notasi biner, lihat misalnya

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

Dan pemberitahuan itu (...)*(1+1)bisa diganti x:=(...) in x+x, jadi Anda bahkan tidak perlu multiplikasi untuk ini. Tetapi karena Anda memiliki perkalian, Anda bahkan dapat secara efisien mewakili angka-angka seperti 1011^101101. Perhatikan juga bahwa Anda dapat menambahkan, mengurangi, dan mengalikan angka dalam representasi ini secara efisien. Tetapi representasi ini tidak terbatas pada angka, itu bahkan bekerja dengan cara yang persis sama untuk fungsi polinom multivarian. Dan untuk polinomial, ini bahkan merupakan representasi yang cukup alami, karena polinomial adalah aljabar bebas untuk cincin komutatif, dan representasi sebagai rangkaian dapat digunakan untuk aljabar bebas apa pun.

$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$$c$$0$$c$ditolak, karena sebagian besar angka-angka itu akan mengandung lebih banyak informasi daripada yang mungkin diwakili oleh alam semesta fisik. Sebagian besar kata-kata kasar hanya membuat saya tertawa, tetapi hal ini membuat saya berpikir. Para filsuf seperti Willard Van Orman Quine telah memprotes terhadap klaim adanya kemungkinan yang tidak teraktualisasi, antara lain karena mereka mengarah pada unsur-unsur yang tidak teratur yang tidak dapat dikatakan bermakna untuk identik dengan diri mereka sendiri dan berbeda satu sama lain. Jadi saya merasa cukup masuk akal untuk bertanya-tanya tentang angka presentasi yang masih melakukan penambahan, pengurangan dan penggandaan, dan setidaknya secara bermakna menentukan apakah dua angka berbeda satu sama lain. Representasi rangkaian mencapai ini ...

Kembali ke polinomial dan representasi sirkuit dari aljabar gratis. Inilah beberapa pertanyaan besar:

• 
  $n\geq 4$$n$
• Apakah ada aljabar gratis yang pengujian identitas deterministiknya yang efisien akan mematahkan dugaan yang diyakini umum, seperti P! = NP?
  -> Ya, pengujian identitas untuk aljabar gratis untuk cincin komutatif reguler adalah NP-lengkap. Tidak memperhatikan ini untuk waktu yang lama, lihat di bawah ...
• $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Saya terutama bertanya-tanya tentang aljabar gratis untuk cincin komutatif reguler di sini (yaitu cincin dengan operasi terbalik umum), karena mereka akan memungkinkan untuk mewakili bilangan rasional dan fungsi rasional. Perhatikan bahwa jika kita menggunakan representasi ini hanya untuk angka, maka kita mungkin bertanya-tanya apakah kita dapat secara efisien menguji a < brepresentasi ini. Pertanyaan ini tidak masuk akal untuk cincin komutatif gratis, tetapi bisa masuk akal untuk polinomial, jika kita menafsirkannya dalam konteks cincin yang dipesan sebagian secara gratis. Tapi cincin yang dipesan sebagian hanyalah struktur relasional alih-alih aljabar, jadi ini adalah jenis pertanyaan yang berbeda ...

Lemma Schwartz-Zippel berlaku di sini karena berlaku untuk bidang umum dan Z ⊂ Q$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$$n$$7^{2^{n/2}}$$5^{3^{n/3}}$$\mathbb Z$$B=\exp(\exp(n))$$O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Di sisi lain, saya juga percaya bahwa Anda dapat menggunakan generator nomor pseudorandom yang wajar dan dengan demikian memutuskan PIT untuk semua tujuan praktis, jika Anda hanya menguji cukup lama. Saya hanya percaya bahwa Anda tidak akan pernah bisa menghilangkan keraguan (kecil sekali) yang tersisa, mirip dengan satuan ukuran nol, yang tetap mengganggu karena tidak kosong.