Reaksi Logis untuk Sistem Impredikatif di MetaTheory Predikatif


14

Hubungan logis untuk bahasa Impredikatif seperti Sistem F tampaknya bergantung secara kritis pada impredicativitas dari logika ambient. Secara khusus, interpretasi untuk tipe forall akan didefinisikan dalam istilah semua hubungan yang diketik. Dalam sistem impredikatif (seperti CiC / Coq) itu baik, tetapi tampaknya tidak mungkin dalam sistem predikatif (seperti Agda).

Bagaimana ini bisa dilakukan? Misalnya, bagaimana Anda membuktikan normalisasi untuk Sistem F di Agda? Apakah Anda harus membangun alam semesta impredikatif Anda sendiri?

Jawaban:


14

Secara umum, apa yang biasanya kita sebut argumen hubungan logis tidak benar-benar terkait dengan impredicativitas: ide utamanya adalah hanya untuk menafsirkan istilah dalam beberapa aljabar abstrak , dan untuk mewakili jenis sebagai hubungan ( n -ary) R A n .SEBUAHnRSEBUAHn

Ini berfungsi dengan baik untuk semua jenis teori jenis, termasuk teori yang diketik secara dependen, lihat misalnya Shürmann dan Sarnat: Hubungan Struktural Logical di mana logika predikatif (bahwa Twelf) digunakan untuk membuktikan properti tertentu (decidability of equality) untuk kalkulus predikatif. (cukup ketik -kalkulus) menggunakan hubungan logis.λ

Seperti yang Anda duga, bagaimanapun, tidak mungkin untuk membuktikan normalisasi sistem F di Agda (jika Agda tidak diam-diam lebih kuat dari yang diharapkan, yaitu tentang kekuatan teori tipe Martin-Löf dengan sekelompok alam semesta). Hal ini karena normalisasi sistem F menyiratkan konsistensi urutan 2 aritmatika ( ) yang lebih kuat dari jenis teori ML dengan setiap jumlah (predikatif) alam semesta.PSEBUAH2

Sangat membantu untuk mencari tahu di mana buktinya salah di Agda. Ini memang terjadi ketika Anda mencoba mendefinisikan interpretasi hubungan logis dari kuantifikasi impredikatif. Interpretasi dari penghubung non-impredikatif (termasuk kuantifikasi "tergantung") adalah halal dalam teori seperti Agda.


1
Wow benarkah? Anda tidak dapat membuktikan Sistem F menjadi normal di Agda? Apakah Anda memiliki kutipan untuk itu?
Maks Baru

2
@ MaxNew: Ini sebenarnya cukup sulit untuk menemukan kutipan. Yang paling dekat yang bisa saya temukan adalah Kekuatan Teori Beberapa Tipe Martin-Löf yang pasti menjawab pertanyaan untuk teori predikatif dengan satu semesta tunggal dan semacam induksi. Tetapi Agda memiliki rekursi induksi yang menakutkan yang membuatnya jauh lebih kuat.
cody

1
Saya harus menambahkan, bahwa rekursi induksi diketahui lebih lemah daripada kuantifikasi impredikatif dalam kasus-kasus tertentu, seperti yang dijelaskan dengan baik di sini: fplab.bitbucket.org/posts/2012-12-06-induction-recursion.html
cody

1
@cody Sayangnya, tautannya tidak berfungsi lagi. Apakah Anda dapat menemukan konten ini lagi? Apakah Anda mengetahui publikasi baru di bidang formalisasi impredicativity?
Łukasz Lew
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.