Ketidakpastian dalam program GCT

Dalam https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_complexity_theory disebutkan bahwa ".. Ketan Mulmuley percaya bahwa program tersebut, jika layak, kemungkinan akan memakan waktu sekitar 100 tahun sebelum dapat menyelesaikan masalah P vs NP".

Tampaknya mengindikasikan bahwa satu-satunya program yang saat ini dapat dijalankan dapat menghadapi kendala serius.

Apa saja kendala di mana program bisa gagal?

Tergantung apa yang Anda hitung sebagai "program GCT."

1. Pertimbangkan saran khusus ( GCT I , GCT II ) untuk menggunakan lenyapnya / tidak lenyapnya multiplisitas tertentu dalam penutupan orbit determinan dan permanen untuk menyelesaikan dugaan permanen yang kuat versus determinan (yaitu, bahwa permanen tidak dalam penutupan orbit dari penentu polinomi yang lebih besar). Dalam hal ini, adalah mungkin bahwa bahkan jika dugaan itu benar, bahwa hal ini tidak tercermin dalam lenyapnya / tidak adanya penambahan dari banyak irreps yang didukung pada penutupan orbit ini. Bahkan mungkin dugaan itu tidak tercermin dalam ketidaksetaraan multiplisitas yang tepat. Saya harus mencatat bahwa ada berbagai bentuk bukti bahwa ini seharusnya tidak terjadi, tetapi belum secara resmi dikesampingkan.

Namun, perlu diketahui bahwa jika alih-alih multiplisitas, Anda hanya menginginkan modul pemisah , maka dugaan perm yang kuat adalah benar jika dan hanya jika ada modul pemisah.

2. Jika tujuan Anda adalah dugaan permanen versus penentu asli, ada langkah sebelumnya dalam GCT, yaitu (seperti yang ditunjukkan oleh chazisop) pindah ke dugaan perm v yang kuat dengan mempertimbangkan penutupan orbit . Dapat dibayangkan bahwa dugaan permanen versus penentu asli adalah benar tetapi versi yang kuat adalah salah. Namun, ini tampaknya sangat tidak mungkin bagi saya. Juga, jika ini situasinya, maka tidak satu pun dari metode kami saat ini bahkan dapat mendekati untuk menyelesaikan dugaan perm v det, karena mereka semua saat ini bekerja untuk "kuat" / "aproksimasi" / "perbatasan -" / versi Zariski-closed pernyataan kompleksitas aljabar apa pun yang mereka buktikan.

3. $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

4. [Potensi kegagalan batas bawah secara umum, tidak khusus untuk GCT.] GCT saat ini ditujukan untuk batas bawah yang tidak seragam; yaitu, bahkan dalam pendekatan GCT untuk batas bawah Boolean, itu bertujuan untuk menunjukkan . Tetapi tentu saja, ini konsisten dengan teorema saat ini bahwa belum . Tentu saja, secara teknis juga mungkin bahwa dan dugaan det adalah salah!$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$

Namun, izinkan saya menunjukkan bahwa program GCT seperti saat ini masih ada bagi saya sepertinya hal pertama yang harus dicoba . Jika ternyata salah satu dari (1) - (3) di atas benar-benar tidak berfungsi, itu berarti bahwa perm dugaan (dan karenanya, versus ) hampir tak terbayangkan lebih sulit daripada yang kita pikirkan saat ini. (Mungkin perlu dicatat bahwa pernyataan ini berasal dari seseorang yang sudah berpikir bahwa analogi berikut mungkin kira-kira benar, jika tidak memadai: adalah pengetahuan kita saat ini sebagai Klasifikasi Kelompok Sederhana Hingga adalah untuk Teorema Kecil Fermat ). Dan bahkan jika itu masalahnya,$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$memahami cara yang tepat di mana kegagalan terjadi kemungkinan akan menjadi penting untuk membuat kemajuan lebih lanjut .

Saya percaya pernyataan "100 tahun" merujuk bahwa teori itu bersifat umum, tetapi membutuhkan pemahaman mendalam dan hasil baru dalam teori representasi dan geometri aljabar untuk maju, sesuatu yang mungkin lambat untuk maju (saya ingin membuat perbandingan dengan teori bilangan, tetapi Saya tidak yakin seberapa tepat itu).

Juga, ada kehilangan presisi ketika menerjemahkan ke dunia algebro-geometric: Alih-alih membuktikan batas bawah terhadap sifat-sifat kelas kompleksitas (yaitu polinomial yang hilang ketika benda-benda di kelas itu diberikan sebagai input), Anda membuktikannya terhadap penutupan Zariski (dari polinomial tersebut). Dapat dibayangkan bahwa untuk memisahkan keduanya, kita harus memeriksa batas penutupan itu (polinomial-polinomial yang hanya terjadi pada penutupan tetapi pada set asli). Dipercayai bahwa pada varian penentu vs varian permanen dari program GCT, hal ini mungkin terjadi .

Akhirnya dari pengalaman pribadi, keterampilan yang diperlukan untuk memahami GCT secara mendalam sangat berbeda dari apa yang biasanya menjadi fokus program sarjana atau bahkan master di CS, pada dasarnya mengambil prasyarat adalah tindak lanjut alami dari memilih untuk belajar GCT.