Koefisien Fourier Fungsi Boolean dijelaskan oleh Sirkuit Kedalaman Terikat dengan gerbang AND OR dan XOR


29

Biarkan menjadi fungsi Boolean dan mari kita pikirkan f sebagai fungsi dari hingga \ {-1,1 \} . Dalam bahasa ini, ekspansi Fourier dari f hanyalah perluasan dari f dalam hal monomial bebas persegi. ( 2 ^ monomial ini membentuk dasar ruang fungsi nyata pada \ {- 1,1 \} ^ n . Jumlah kuadrat dari koefisien hanya 1 sehingga f mengarah ke distribusi probabilitas pada monomial bebas persegi. Sebut distribusi ini distribusi-F.f{1,1}n{1,1}2n{1,1}n1f

Jika f dapat dijelaskan oleh rangkaian kedalaman terbatas dari ukuran polinomial maka kita tahu dengan teorema Linial, Mansour dan Nisan bahwa distribusi F terkonsentrasi pada monomial ukuran polylog n hingga berat hampir secara eksponensial-kecil. Ini berasal dari Hastad switching lemma. (Bukti langsung akan sangat diinginkan.)

Apa yang terjadi ketika kita menambahkan gerbang mod 2? Salah satu contoh untuk dipertimbangkan adalah fungsi IP2n pada variabel 2n yang digambarkan sebagai produk dalam mod 2 dari variabel n pertama dan variabel n terakhir. Di sini distribusi-F adalah seragam.

Pertanyaan : Apakah distribusi-F dari fungsi Boolean dijelaskan oleh ukuran polinomial kedalaman terbatas DAN, ATAU, sirkuit MOD 2 terkonsentrasi (hingga kesalahan superpolynomially kecil) pada o(n) "level"?

Komentar :

  1. Salah satu jalan yang mungkin ke sebuah counterexample adalah dengan "merekatkan entah bagaimana" berbagai IP 2k pada set variabel yang terpisah tetapi saya tidak melihat bagaimana melakukannya. Mungkin orang harus melemahkan pertanyaan dan memungkinkan menetapkan beberapa bobot pada variabel, tetapi saya juga tidak melihat cara yang jelas untuk melakukannya. (Jadi merujuk pada dua hal ini juga merupakan bagian dari apa yang saya tanyakan.)

  2. Saya akan berspekulasi bahwa jawaban positif untuk pertanyaan, (atau untuk variasi yang berhasil) akan berlaku juga ketika Anda mengizinkan gerbang mod k . (Jadi mengajukan pertanyaan dimotivasi oleh hasil ACC mengesankan baru-baru ini dari Ryan Williams.)

  3. Untuk UTAMA, distribusi-F adalah besar (1 / poli) untuk setiap "level".

Seperti yang ditunjukkan oleh Luca, jawaban untuk pertanyaan yang saya ajukan adalah "tidak". Pertanyaan yang tersisa adalah mengusulkan cara-cara untuk menemukan properti distribusi F fungsi Boolean yang dapat dijelaskan oleh AND OR dan gerbang mod 2 yang tidak digunakan bersama oleh MAJORITY.

Upaya untuk menyimpan pertanyaan dengan membicarakan fungsi MONOTONE:

Pertanyaan : Apakah distribusi-F dari fungsi MONOTONE Boolean dijelaskan oleh ukuran polinomial kedalaman terbatas DAN, ATAU, sirkuit MOD terkonsentrasi (hingga kesalahan superpolynomially kecil) pada "level"?2o(n)

Kami dapat berspekulasi bahwa kami bahkan dapat mengganti dengan sehingga contoh tandingan untuk versi yang kuat ini dapat menarik. o(n)polylog(n)


Sepertinya dugaan yang sangat kuat, akan sangat menarik jika ada bukti itu bisa benar. Apakah intuisi di balik ini bahwa untuk rangkaian kedalaman konstan dengan gerbang mod Anda dapat memiliki fungsi yang sangat tidak sensitif noise seperti polinomial tingkat rendah, atau sangat acak seperti paritas, tetapi sulit untuk membuat sesuatu di tengah seperti mayoritas?
Boaz Barak

Dear Boaz, (saya harapkan contoh tandingan terhadap pernyataan yang disarankan kuat.) Re: intuisi, ganti "sangat acak" dengan "seperti Bernouli". Seperti yang saya ingat, ketika Anda mempertimbangkan gerbang mod k tunggal maka F-Distribution seperti distribusi Bernouli tertentu (yaitu bobot untuk | S | seperti p ^ | S | (1-p) ^ {n- | S | } untuk beberapa p, tidak harus p = 1 / 2. Jadi terlihat bahwa sirkuit kedalaman kecil terikat dengan mod k gerbang memanipulasi dalam distribusi-F mereka seperti distribusi Bernouli jadi mungkin properti "bobot paling banyak pada beberapa level" (Atau beberapa lainnya properti distribusi Bernouli) dipertahankan
Gil Kalai

Jawaban:


31

Gil, apakah sesuatu seperti ini akan menjadi contoh tandingan?

Biarkan menjadi sedemikian rupa sehingga , dan anggap input bit sebagai pasangan mana adalah string m-bit dan adalah integer dalam kisaran ditulis dalam biner.n = m + log m n ( x , i ) x ( x 1 , ... , x m ) i 1 , ... , mmn=m+logmn(x,i)x(x1,,xm)i1,,m

Kemudian kita mendefinisikanf(x,i):=x1xi

Sekarang untuk setiap fungsi f () memiliki korelasi dengan karakter Fourier , dan "level i" memiliki setidaknya fraksi massa. (Sebenarnya lebih, tetapi ini sudah cukup)1 / m x 1x i 1 / m 2i=1,,m1/mx1xi1/m2

f () dapat diwujudkan dalam kedalaman-3: letakkan semua XOR dalam satu lapisan, dan kemudian lakukan "seleksi" dalam dua lapisan AND, OR dan NOT (tidak menghitung TIDAK sebagai menambah kedalaman, seperti biasa).


ya, Luca, sepertinya kamu benar.
Gil Kalai
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.