Apa konsekuensi negatif dari perluasan CIC dengan aksioma?

13

Benarkah menambahkan aksioma ke CIC mungkin memiliki pengaruh negatif dalam konten komputasi dari definisi dan teorema? Saya mengerti bahwa, dalam perilaku normal teori ini, setiap jangka tertutup akan mengurangi ke bentuk normal kanonik nya, misalnya jika benar, maka harus mengurangi untuk jangka waktu bentuk . Tetapi ketika mendalilkan aksioma - katakanlah aksi aksioma ekstensionalitas - kita hanya menambahkan konstanta baru ke sistem $n : \mathbb{N}$ $n$ $(succ ... (succ (0)))$ funext

f kamu n e x t : Π_{x : SEBUAH} f (x) = g (x) \to f = g

$funext : \Pi_{x : A} f (x) = g (x) \to f = g$

yang hanya akan "secara ajaib" menghasilkan bukti dari bukti , tanpa makna komputasi sama sekali ( dalam arti kita tidak dapat mengekstrak kode apa pun dari mereka? ) $f = g$ $\Pi_{x : A} f (x) = g (x)$

Tetapi mengapa ini "buruk"?

Karena funext, saya membaca di entri coq ini dan pertanyaan ini lebih dari itu akan menyebabkan sistem kehilangan canonicity atau memeriksa decidable. Entri coq tampaknya memberikan contoh yang baik, tetapi saya masih ingin beberapa referensi lagi tentang itu - dan entah bagaimana saya tidak dapat menemukannya.

Bagaimana menambahkan aksioma ekstra dapat menyebabkan CIC memiliki perilaku yang lebih buruk? Setiap contoh praktis akan bagus. (Misalnya, Aksioma Univalensi?) Saya takut pertanyaan ini terlalu lunak, tetapi jika ada yang bisa menjelaskan masalah-masalah itu atau memberi saya beberapa referensi akan hebat!

PS: Entri coq menyebutkan bahwa "Thierry Coquand sudah mengamati bahwa pencocokan pola dengan keluarga intensif tidak konsisten dengan ekstensionalitas pada pertengahan 90-an." Adakah yang tahu di koran mana atau apa?

— StudentType
sumber

7

Satu alasan pertama untuk menolak aksioma adalah bahwa mereka mungkin tidak konsisten. Bahkan untuk aksioma yang terbukti konsisten, beberapa di antaranya memiliki interpretasi komputasi (kita tahu bagaimana memperluas kesetaraan definisi dengan prinsip reduksi bagi mereka) dan beberapa tidak - yang melanggar kanonisitas. Ini "buruk" karena berbagai alasan:

Secara teori, kanonisitas memungkinkan Anda membuktikan hal-hal tentang nilai-nilai bahasa Anda, tanpa harus pergi ke model tertentu. Ini adalah properti yang sangat memuaskan untuk memikirkan sistem Anda; khususnya, ini mendukung klaim tentang dunia nyata - kita dapat menganggap nattipe yang diformalkan dalam sistem sebagai "bilangan alami" karena kita dapat membuktikan bahwa penghuni normal yang tertutup benar-benar bilangan alami. Kalau tidak mudah untuk berpikir bahwa Anda memodelkan sesuatu dengan benar di sistem Anda, tetapi sebenarnya bisa bekerja dengan objek yang berbeda.
Dalam praktiknya, reduksi merupakan aset utama dari teori tipe dependen, karena membuat bukti menjadi mudah. Membuktikan kesetaraan proposisional bisa sulit secara sewenang-wenang, sementara membuktikan kesetaraan definisi adalah (jarang mungkin) tetapi jauh lebih mudah, karena istilah bukti itu sepele. Secara lebih umum, perhitungan adalah aspek inti dari pengalaman pengguna asisten bukti, dan merupakan hal yang umum untuk mendefinisikan hal-hal sedemikian rupa sehingga mengurangi dengan benar seperti yang Anda harapkan. (Anda tidak perlu aksioma untuk menyulitkan perhitungan; misalnya, menggunakan prinsip konversi pada persamaan proposisional sudah dapat memblokir pengurangan). Seluruh bisnis pembuktian dengan refleksididasarkan pada penggunaan perhitungan untuk membantu bukti. Ini adalah perbedaan utama dalam kekuatan dan kenyamanan sehubungan dengan asisten bukti berbasis logika lainnya (mis. HOL-light, yang hanya mendukung penalaran kesetaraan; atau lihat Zombie untuk pendekatan yang berbeda), dan menggunakan aksioma yang tidak dicentang, atau gaya pemrograman lainnya, dapat membuat Anda keluar dari zona nyaman ini.

— gasche
sumber

+1 Terima kasih atas jawaban Anda! Bisakah Anda memberi saya beberapa contoh aksioma yang memiliki interpretasi komputasi (atau mungkin referensi untuk subjek)?

— StudentType

Salah satu contoh aksioma yang memiliki interpretasi komputasi adalah Prop-Irrelevance: mengklaim bahwa semua penghuni beberapa jenis keluarga (dalam kasus yang tepat ini, mereka yang sejenis Propdengan Coq proof assistant, yang sesuai dengan pernyataan yang murni logis; Prop-Irrelevance berkorespondensi) untuk mengabaikan struktur internal bukti dari pernyataan-pernyataan itu) adalah sama dapat dilakukan sebagian besar dengan tidak peduli lagi, itu tidak perlu mempengaruhi perhitungan - tetapi perlu dilakukan dengan hati-hati untuk tidak membuat sistem tidak konsisten juga.

— gasche

Keluarga lain intepretasi komputasi berasal dari korespondensi antara penalaran klasik dan efek kontrol. Bagian yang lebih dikenal dari ini adalah bahwa tengah yang dikecualikan dapat diberikan semantik komputasi dengan penangkapan lanjutan, tetapi ada bentuk kontrol terbatas (pengecualian pada tipe positif) yang memberikan prinsip logis berbutir halus (misalnya Prinsip Markov ). Lihat Hugo Herbelin . Logika intuitionistic yang membuktikan prinsip Markov , 2010.

— gasche

5

Untuk memahami mengapa memperluas pembuktian teorema dengan beberapa aksioma dapat menyebabkan masalah, menarik juga untuk melihat kapan hal itu baik untuk dilakukan. Dua kasus muncul dalam pikiran dan keduanya berkaitan dengan fakta bahwa kita tidak peduli dengan perilaku komputasi postulat.

Dalam Teori Jenis Observasional, adalah mungkin untuk mendalilkan bukti dari setiap yang konsisten Proptanpa kehilangan kanonisitas. Memang, semua bukti dianggap sama dan sistem memberlakukan ini dengan sepenuhnya menolak untuk melihat persyaratan. Sebagai akibatnya, fakta bahwa bukti dibangun dengan tangan atau didalilkan tidak ada konsekuensinya. Contoh khas akan menjadi bukti "kohesi": jika kita memiliki bukti eqitu A = B : Typeuntuk tjenis apa pun A, di t == coerce A B eq tmana coercehanya mengangkut istilah di sepanjang bukti kesetaraan.
Dalam MLTT, seseorang dapat mendalilkan aksioma konsisten negatif tanpa kehilangan kanonisitas . Intuisi di balik ini adalah bahwa aksioma negatif (aksioma bentuk A -> False) hanya pernah digunakan untuk memberhentikan cabang yang tidak relevan. Jika aksioma konsisten, maka hanya dapat digunakan di cabang yang memang tidak relevan dan karenanya tidak akan pernah diambil saat mengevaluasi persyaratan.

— gallais
sumber

4

Contoh praktis aksioma yang berperilaku buruk Anda bertanya, bagaimana dengan ini?

 0 = 1

Makalah Coquand yang dimaksud mungkin [1], di mana ia menunjukkan bahwa ITT dependen (teori tipe intuitionistic Martin-Löf) diperluas dengan pencocokan pola memungkinkan Anda membuktikan UIP (aksioma keunikan bukti identitas ). Kemudian Streicher dan Hoffmann [2] menyajikan model dalam ITT yang memalsukan UIP. Oleh karena itu pencocokan pola bukanlah perpanjangan ITT yang konservatif.

T. Coquand, Pencocokan pola dengan tipe dependen .
M. Hofmann, T. Streicher, Interpretasi groupoid dari teori jenis .

— Martin Berger
sumber