Tentang properti matriks adjacency ketika grafik planar

1- Apakah ada properti khusus untuk matriks kedekatan ketika grafik planar?
2- Apakah ada hal khusus untuk menghitung matriks adjacency permanen ketika grafik planar?

Komputasi determinan dan permanen grafik planar sama sulitnya dengan menghitungnya dalam grafik umum. Keduanya lengkap untuk GapL dan #P . Lihat makalah ini oleh Datta, Kulkarni, Limaye, Mahajan untuk lebih jelasnya.

Ini lebih merupakan properti dari matriks kejadian daripada matriks adjacency, tetapi salah satu properti penting dari grafik planar adalah bahwa mereka persis grafik yang matroid grafisnya adalah ganda dari matroid grafis lain. Relasi dengan matriks kejadian adalah bahwa matroid grafis menggambarkan set kolom independen dalam matriks.

Ada properti dari matriks jarak (dan bukan matriks kedekatan) dari grafik planar terbatas yang mungkin menarik, properti Monge . Properti Monge (karena Gaspard Monge) untuk grafik planar pada dasarnya berarti bahwa jalur terpendek tertentu tidak dapat dilintasi. Lihat Wikipedia: Monge Array untuk deskripsi formal tentang properti Monge. Djidjev (WG 1996) ( makalah di situs web Djidjev ) dan Fakcharoenphol dan Rao (FOCS 2001) ( Video ) menunjukkan bagaimana cara mengeksploitasi properti non-persimpangan dalam algoritma jalur terpendek.

Saya tidak yakin jenis properti apa yang Anda cari tetapi jari-jari spektral grafik planar adalah salah satu dari jumlah tersebut (nilai absolut maksimum nilai eigen dari matriks adjaceny). Lihat misalnya makalah ini .

Meskipun tidak terkait langsung dengan pertanyaan Anda, Anda mungkin ingin melihat karya pada urutan derajat grafik planar. Tidak ada penokohan yang diketahui tentang kapan deret derajat adalah deret derajat grafik planar. Namun, ada berbagai makalah menarik tentang hal-hal tersebut termasuk:

http://www.jstor.org/pss/2100346