Apakah kerumitan Kolmogorov dari tabel kebenaran dari masalah penghentian diketahui tanpa gejala?

Misalkan $HALT_n$ menunjukkan string dengan panjang $2^n$ sesuai dengan tabel kebenaran dari penghentian masalah untuk input panjang $n$ .

Jika urutan kompleksitas Kolmogorov $K(HALT_n)$ adalah $O(1)$ , maka salah satu string saran akan sering digunakan tanpa batas, dan TM dengan string yang dikodekan keras akan dapat menyelesaikan $HALT$ Seringkali tak terbatas, yang kita tahu bukan itu masalahnya.

Pemeriksaan yang lebih dekat dari argumen diagonalisasi sebenarnya menunjukkan bahwa $K(HALT_n)$ setidaknya $n - \omega (1)$ , jadi bersama dengan batas atas sepele, kita memiliki:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Batas bawah ini dicatat dalam intro dari makalah baru-baru ini dari Fortnow dan Santhanam `` Batas Bawah Baru yang Tidak Seragam untuk Kelas Kompleksitas Seragam '' , dan mereka mengaitkannya dengan cerita rakyat. Pada dasarnya, jika string saran lebih pendek dari panjang input, maka kita masih dapat mendiagonalisasi terhadap mesin dengan paling banyak jumlah saran itu.

(Sunting: Sebenarnya, dalam versi sebelumnya dari makalah mereka menghubungkannya dengan cerita rakyat, saya kira sekarang mereka hanya mengatakan itu adalah adaptasi dari Hartmanis dan Stearns.)

$t$

$2^n$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$P = BPP$

$K(HALT_n)$

$K(HALT_n)$

Catatan: Ada posting bagus lain tentang kompleksitas rangkaian masalah penghentian, yang dapat dilihat hampir maksimal oleh argumen yang dibuat oleh Emil Jerabek di sini: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -dari-masalah-tersendat-sendat

$E^{NP^{NP}}$$HALT$

$K(HALT_n)$$HALT$$HALT$$HALT_{2^n}$$2^n$

$K(HALT_n)$

Atau, adakah batas atas yang lebih baik yang saya lewatkan?

$DTIME$$K(HALT_n)$, tidak ada waktu terikat sama sekali, jadi mungkin kita memiliki jumlah waktu yang sama dengan musuh, dan seharusnya tidak berharap itu tidak bisa dimaksimalkan secara maksimal. Namun demikian, diagonalisasi juga berfungsi dalam pengaturan tidak terbatas - tampaknya untuk mesin apa pun, ada mesin yang melakukan hal yang sama dengan mesin itu dan kemudian melakukan hal lain, jadi selalu ada seseorang yang memiliki waktu lebih banyak daripada Anda. Jadi mungkin musuh selalu memiliki lebih banyak waktu daripada kita ...

Hmm, ternyata sebenarnya ada batas atas yang cocok yang tidak terlalu sulit:

$HALT_n$$n$$2^{n}$$n$

Jadi, saya kira argumen cerita rakyat di sini ketat. Kita punya

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

$K(HALT_n)$$O(1)$

$n$$n$