Teorema Ramsey untuk koleksi set

Ketika mengeksplorasi berbagai teknik pembuktian batas bawah untuk algoritma terdistribusi, terpikir oleh saya bahwa varian berikut dari teorema Ramsey mungkin memiliki aplikasi - jika itu benar.

Parameter: $k$ , $K$ , $n$ diberikan, dan kemudian $N$ dipilih cukup besar. Terminologi: $m$ -subset adalah subset dari ukuran $m$ .

• Misalkan $A = \{1,2,...,N\}$ .
• Mari terdiri dari semua k -subsets dari A .$B$$k$$A$
• Biarkan terdiri dari semua K -subsets dari B .$C$$K$$B$
• Menetapkan mewarnai dari C .$f\colon C \to \{0,1\}$$C$

Sekarang teorema Ramsey (versi hypergraph) mengatakan bahwa tidak masalah bagaimana kita memilih , ada n- subset B ′ dari B yang monokromatik : semua K- subset dari B ′ memiliki warna yang sama.$f$ $n$$B'$$B$$K$$B'$

Saya ingin melangkah lebih jauh dan menemukan monokromatik subset A ′ dari A : jika B ′ ⊂ B terdiri dari semua k- subset dari A ′ , maka semua sub- K dari B ′ memiliki warna yang sama.$n$$A'$$A$$B' \subset B$$k$$A'$$K$$B'$

Apakah ini benar atau salah? Apakah itu mempunyai nama? Apakah Anda mengetahui referensi?

Jika itu salah karena beberapa alasan sepele, apakah ada varian yang lebih lemah yang menyerupai klaim ini?

Mengamati bahwa pertanyaannya adalah non-sepele hanya ketika k, K keduanya lebih besar dari 1; untuk kasus k = 1 atau K = 1, itu hanya teorema Ramsey normal, yang berlaku untuk semua n. Juga, kita hanya harus berurusan dengan kasus itu > K, kalau tidak teorema itu benar karena paling banyak ada satu (${n \choose k}$ -subset B 'dibangun oleh n-subset A' dari A.${n \choose k}$

Pertama-tama kita membuktikan teorema itu salah untuk semua k> 1, K> 1, dan setiap n memuaskan > K>(n-${n \choose k}$.$({n-1 \atop k})$

Untuk membuat contoh tandingan, untuk setiap N dan A = [N] yang besar, kita harus membuat fungsi pewarnaan f sehingga untuk semua n-subset A 'dari A, jika B' terdiri dari semua k-subset dari A ' , beberapa subset K-B memiliki warna yang berbeda. Di sini kita memiliki pengamatan berikut:

Pengamatan 1. Dalam kondisi bahwa k, K> 1 dan > K>(n-${n \choose k}$, setiap subset K dari B adalah subset untuk paling banyak satu B 'dibangun oleh n-subset A' dari A.$({n-1 \atop k})$

Pengamatan dapat dengan mudah tampak dengan mewakili sebagai hypergraphs. Misalkan A adalah simpul dari grafik G, n-subset A 'dari A adalah himpunan simpul dari n-subgraf lengkap dalam G. B' adalah himpunan k-hyperedges dalam subgraph lengkap (a 2-hyperedge adalah normal edge), dan K-himpunan bagian dari B 'adalah setiap kombinasi (ada total, di mana | B '| = ($({|B'| \atop K})$ ) dari K k-hyperedges. Pengamatan menyatakan: setiap K-tuple dari hiperedges dalam G milik paling banyak satu n-subgraph lengkap, yang jelas untuk (${n \choose k}$ > K>(n-${n \choose k}$, karena setiap dua n-subgraph lengkap berpotongan paling banyak n-1 node, dengan paling banyak(n-$({n-1 \atop k})$hyperedges.$({n-1 \atop k})$

Kemudian kita dapat menetapkan warna berbeda dalam K-himpunan bagian C 'dari B tertentu yang dibangun oleh n-subset A', karena setiap elemen dalam C 'tidak akan terjadi sebagai sub-K lainnya dari B' 'yang dibangun oleh n-subset SEBUAH''. Untuk setiap subset K dari B yang tidak dikonstruksikan oleh n-subset dari A, kami memberikan warna acak padanya. Sekarang kita memiliki fungsi pewarnaan f, dengan properti bahwa tidak ada B 'dibangun oleh n-subset A adalah monokromatik, yaitu, beberapa himpunan bagian-K dari B' memiliki warna yang berbeda.

Selanjutnya kita menunjukkan bahwa teorema itu juga salah untuk semua k> 1, K> 1, dan setiap n memuaskan > K. Di sini satu-satunya perbedaan adalah n dapat dipilih begitu besar, sehingga K>(n-${n \choose k}$tidak benar. Tetapi dengan pengamatan sederhana lainnya:$({n-1 \atop k})$

Pengamatan 2. Jika beberapa B 'dibangun oleh n-subset A' dari A adalah monokromatik, maka setiap B '' dibangun oleh n'-subset A '' dari A 'untuk n' <n juga monokromatik.

Oleh karena itu kita dapat mengasumsikan teorema berpegang pada n yang lebih besar, menerapkan pengamatan kedua, dan menyimpulkan kontradiksi dengan kasus pertama, dengan menetapkan n 'memuaskan > K>( n ′ -$({n' \atop k})$; seperti n 'harus ada dengan fakta bahwa($({n'-1 \atop k})$> K dan K>($({n \atop k})$, n 'harus terletak di antara n dan k + 1.$({k \atop k})$