Apakah ada kelas grafik yang menarik di mana treewidth sulit (mudah) untuk dihitung?

Treewith adalah parameter grafik penting yang menunjukkan seberapa dekat grafik dari menjadi pohon (walaupun tidak dalam arti topologi yang ketat).

Sudah diketahui bahwa menghitung treewidth adalah NP-hard.

Adakah kelas alami grafik di mana treewidth sulit untuk dihitung?

Demikian pula:

Apakah ada kelas grafik yang menarik di mana perhitungan treewidth mudah? Jika ya, adakah properti / tes struktural yang dapat dieksploitasi? Yaitu, Grafik memiliki properti menghitung treewidth dari . $G$ $X$ $\Rightarrow$ $G \in \mathbf{P}$

— PsySp
sumber

Untuk kelas grafik di mana treewidth dibatasi atau tidak terikat, Anda dapat melihat graphclasses.org; cari parameter treewidth dan Anda akan mendapatkan daftar lasses grafik di mana treewidth terikat (atau tidak terikat): graphclasses.org/classes/par_10.html

— Cyriac Antony

Anda juga dapat menggunakan aplikasi java mereka untuk melihat kelas di mana dekomposisi treewidth sulit (atau mudah)

— Cyriac Antony

Treewidth adalah NP-sulit untuk dihitung pada grafik co-bipartit, memang bukti NP-kekerasan asli treewidth dari Arnborg et al. menunjukkan ini. Selain itu, Bodlaender dan Thilikos menunjukkan bahwa NP-sulit untuk menghitung grafik grafik dengan derajat maksimum . Akhirnya, untuk setiap grafik treewidth minimal , membagi kembali sebuah edge (yaitu, mengganti edge dengan derajat vertex yang berdekatan dengan dua endpoint edge) tidak mengubah treeewidth dari grafik. Oleh karena itu NP-sulit untuk menghitung grafik bipartit 2-degenerasi dari ketebalan besar yang sewenang-wenang. $9$ $2$ $2$

Masalahnya adalah waktu polinomial yang dapat dipecahkan pada grafik chordal, grafik permutasi, dan lebih umum pada semua kelas grafik dengan jumlah polinomial dari klik-klik maksimal potensial, lihat makalah ini oleh Bouchitte dan Todinca. Perhatikan bahwa dalam makalah yang sama ditunjukkan bahwa himpunan dari klik-klik maksimum potensial dari suatu graf dapat dihitung dari pada waktu . Juga, algoritma Bodlaender ini menentukan apakah $\Pi(G)$ $G$ $G$ $O(|\Pi(G)|^2 \cdot n^{O(1)})$ $G$ memiliki paling banyak dalam waktu $k$ . Oleh karena itu, treewidth adalah polinomial waktu dipecahkan untuk grafik dari treewidth. $2^{O(k^3)}n$ $O((\log n)^{1/3})$

Ini adalah masalah terbuka yang luar biasa apakah menghitung grafik grafik planar adalah waktu polinomial yang dapat diselesaikan atau NP lengkap. Perlu dicatat bahwa parameter graph branchwidth terkait (yang selalu berada dalam faktor 1,5 dari treewidth) adalah waktu polinomial yang dapat dihitung pada grafik planar.

— daniello
sumber

Terima kasih. Jadi satu-satunya kelas yang diketahui sulit adalah grafik co-bipartit? Properti klik potensial potensial sepertinya tidak mengejutkan bagi saya. Apakah P-time properti ini dapat diuji?

— PsySp

Ambil 2 simpul dan hubungkan dengan (n-2) / 3 jalur dengan 3 simpul di setiap jalur. Ada sekitar

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

Bodlaender dan Thilikos [DAM 79 (1997) 45-61] menunjukkan bahwa komputasi treewidth adalah NP-hard untuk grafik dengan tingkat maksimum 9.

— Yota Otachi

Selain kekerasan untuk grafik co-bipartit, harus juga disebutkan bahwa menghitung treewidth juga sulit untuk grafik bipartit, pertama kali diamati, menurut saya, oleh Ton Kloks dalam tesis PhD-nya.

— vb le

Anda dapat menyebutkan bahwa (hampir) tidak ada yang diketahui tentang kompleksitas aproksimasi dan batas bawah yang diparameterisasi. Pada prinsipnya, mungkin ada PTAS atau algoritma waktu subeksponensial, meskipun keduanya sangat tidak mungkin. Satu-satunya kekerasan perkiraan adalah yang didasarkan pada ekspansi set kecil (SSE). doi: 10.1613 / jair.4030.

— Yixin Cao