Apakah SAT-widthed decidable dalam logspace?

Elberfeld, Jakoby, dan Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 ) membuktikan versi teorema Bodlaender yang hemat ruang. Mereka menunjukkan bahwa untuk grafik dengan treewidth paling banyak , dekomposisi pohon dengan lebar dapat ditemukan menggunakan ruang logaritmik. Faktor konstan dalam batas ruang tergantung pada . (Teorema Bodlaender menunjukkan batas waktu linier, dengan ketergantungan eksponensial pada dalam faktor konstan.) $k$ $k$ $k$ $k$

SAT menjadi mudah ketika himpunan klausa memiliki lebar rendah. Secara khusus, Fischer, Makowsky, dan Ravve 2008 menunjukkan bahwa pemenuhan formula CNF dengan grafik insiden yang dibatasi oleh dapat diputuskan dengan operasi aritmatika maksimal ketika dekomposisi pohon diberikan. Dengan teorema Bodlaender, menghitung dekomposisi pohon dari grafik kejadian untuk tetap dapat dilakukan dalam waktu linier, dan oleh karena itu SAT dapat diputuskan untuk rumus treewidth terikat dalam waktu yang merupakan polinomial derajat rendah dalam jumlah variabel . $k$ $2^{O(k)} n$ $k$ $n$

Orang kemudian dapat berharap bahwa SAT harus benar-benar dapat ditentukan menggunakan ruang logaritmik, untuk rumus dengan treewidth terikat dari grafik kejadian. Tidak jelas cara memodifikasi Fischer et al. pendekatan untuk memutuskan SAT menjadi sesuatu yang hemat ruang. Algoritma ini bekerja dengan menghitung ekspresi untuk sejumlah solusi, melalui inklusi-eksklusi, dan secara rekursif mengevaluasi jumlah solusi dari formula yang lebih kecil. Meskipun treewidth dibatasi tidak membantu, subformula tampaknya terlalu besar untuk dihitung dalam ruang logaritmik.

Ini membuat saya bertanya:

Apakah SAT untuk rumus treewidth terikat diketahui di atau ? $\mathsf{L}$ $\mathsf{NL}$

— András Salamon
sumber

Bukankah fakta bahwa SAT di L untuk instance treewidth terikat mengikuti langsung dari hasil di kertas yang Anda kutip? Himpunan formula yang memuaskan adalah MSO dapat didefinisikan. Oleh karena itu, kepuasan dapat diselesaikan dalam waktu linier pada grafik treewidth terikat melalui Bodlaender + Courcelle theorems. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, menunjukkan bahwa properti MSO dapat diputuskan dalam ruang logaritmik pada grafik treewidth terikat dengan menyediakan versi ruang logaritmik teorema Bodlaender + Courcelle. Oleh karena itu, SAT dapat diputuskan dalam logspace pada grafik treewidth terikat.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@MateusdeOliveiraOliveira, detailnya sepertinya tidak jelas bagi saya. SAT dapat didefinisikan-MSO melalui suatu struktur dengan dua relasi tepi terarah (Immerman Contoh 2.18), penyatuan yang mengarah ke tepi-tepi grafik kejadian begitu arahnya dilupakan. Namun, tidak jelas bagi saya bahwa adalah mungkin untuk menggunakan grafik kejadian sebagaimana-untuk MSO-definisikan kepuasan (misalnya, set cover), sehingga dapat menerapkan Bodlaender / Courcelle / EJT.

— András Salamon

Teorema @ AndrásSalomon Courcelle dapat dinyatakan untuk grafik dengan simpul dan tepi berwarna. Treewidth dari grafik berwarna seperti itu sama dengan treewidth dari versi yang tidak berwarna. Ada banyak cara pemodelan struktur relasional sewenang-wenang sebagai grafik berwarna.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Dalam kasus Rumus, Anda ingin menentukan struktur relasional yang menyandi sekaligus rumus dan grafik kejadian. (Jika tidak, bagaimana Anda mendefinisikan kepuasan di tempat pertama?) Kemudian dengan menggunakan gagasan treewidth yang sesuai untuk struktur seperti itu, kami memiliki bahwa treewidth struktur (Formula + grafik Insidensi) paling banyak merupakan konstanta aditif yang lebih besar daripada treewidth of grafik kejadian saja. Perhatikan bahwa ada banyak cara untuk mendefinisikan strucutre relasional gabungan seperti itu, dan pada dasarnya setiap penulis menggunakan yang paling cocok untuk konteksnya.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@Mateus, terima kasih! Itu adalah komentar yang agak membantu; Saya tidak menyadari sifat "toolbox" dari treewidth dalam kompleksitas deskriptif. Mau mengubahnya menjadi jawaban?

— András Salamon

Memang, dengan menggunakan hasil di Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 orang dapat menunjukkan bahwa SAT dapat diputuskan dalam logspace pada formula yang grafik kejadiannya telah membatasi treewidth. Berikut ini adalah sketsa tentang bagaimana langkah-langkah utama pembuktian klaim ini berjalan.

Pengertian dekomposisi pohon dan treewidth dapat digeneralisasi ke struktur relasional yang sewenang-wenang. Lihat misalnya bagian 2 dan 3 makalah ini oleh Dalmau, Kolaitis dan Vardi.
Teorema Courcelle menyatakan bahwa logika MSO dapat diputuskan dalam waktu linier pada struktur relasional treewidth konstan.
Teorema Bodlaender menyiratkan bahwa jika suatu struktur relasional memiliki , maka dekomposisi pohon dari struktur tersebut dapat ditemukan dalam waktu . Dengan kata lain, dekomposisi semacam itu dapat ditemukan dalam waktu linier pada grafik treewidth konstan. $t$ $f(t)\cdot n$
Satu dapat menentukan struktur relasional cocok yang dapat digunakan untuk mengkodekan formula bersama-sama dengan grafik kejadian yang . Treewidth of paling banyak merupakan konstanta plus treewidth dari . $\tau$ $F$ $I$ $\tau$ $I$
Himpunan struktur relasional yang menyandikan rumus yang memuaskan + grafik kejadiannya dapat ditentukan MSO. $\tau$
Oleh karena itu, oleh teorema Bodlander + Courcelle, orang dapat memutuskan apakah formula treewidth konstan dapat dipenuhi dalam waktu linier.
Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 menunjukkan bahwa "waktu linier" dapat digantikan oleh "ruang logaritmik" pada teorema Bodlaender dan Courcelle.
Oleh karena itu, untuk setiap rumus MSO , dan setiap struktur relasional , seseorang dapat menentukan dalam ruang logaritmik apakah puas . $\varphi$ $\tau$ $\tau$ $\varphi$
Secara khusus, SAT dapat ditentukan dalam logspace pada grafik treewidth konstan.

— Mateus de Oliveira Oliveira
sumber