Apakah pengurangan terdalam terus-menerus dalam kalkulus λ yang tidak diketik?

(Saya sudah menanyakan ini di MathOverflow, tetapi tidak mendapat jawaban di sana.)

Latar Belakang

Dalam kalkulus lambda yang tidak diketik, suatu istilah mungkin mengandung banyak pengulangan, dan pilihan berbeda tentang mana yang akan dikurangi dapat menghasilkan hasil yang sangat berbeda (misalnya yang dalam satu langkah ( -) berkurang menjadi atau ke dirinya sendiri). Pilihan (urutan) yang berbeda dari tempat mengurangi disebut strategi pengurangan . Istilah dikatakan normalisasi jika ada strategi pengurangan yang membawa $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ $\beta$ $y$ $t$ $t$ ke bentuk normal. Istilah dikatakan sangat normal jika setiap strategi reduksi membawa ke bentuk normal. (Saya tidak khawatir tentang yang mana, tetapi pertemuan jaminan tidak mungkin lebih dari satu kemungkinan.) $t$ $t$

Strategi reduksi dikatakan normalisasi (dan dalam beberapa hal terbaik mungkin) jika setiap kali memiliki bentuk normal, maka di situlah kita akan berakhir. Strategi paling kiri adalah normalisasi. $t$

Di ujung lain dari spektrum, strategi reduksi dikatakan abadi (dan dalam beberapa hal terburuk mungkin) jika setiap kali ada urutan reduksi tak terbatas dari istilah , maka strategi menemukan urutan seperti itu - dengan kata lain, kita mungkin bisa gagal untuk menormalkan, maka kita akan melakukannya. $t$

Saya tahu strategi reduksi abadi dan diberikan masing-masing oleh: $F_\infty$ $F_{bk}$ dan

\begin{array}{ll} F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & jika t sangat normalisasi \\ F_{b k} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{b k} (t)] & jika tidak \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

(Dalam kedua kasus,

-redex yangditunjukkanadalah yangpaling kiridalam istilah

- dan pada bentuk normal , strategi reduksi selalu merupakan identitas.) Strategi

bahkanmaksimal- jika itu normal suatu istilah, maka ia telah menggunakan urutan reduksi terpanjang yang mungkin untuk melakukannya. (Lihat misalnya 13.4 dalam buku Barendregt.)

\begin{array}{ll} F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [s [t / x]] & jika x terjadi pada s, atau jika t dalam bentuk normal \\ F_{\infty} (C [(λ x . s) t]) = C [(λ x . s) F_{\infty} (t)] & jika tidak \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

$\beta$

\begin{array}{ll} L. (t) = t & jika t pada bentuk normal \\ L. (λ x . s) = λ x . L. (s) & untuk s tidak dalam bentuk normal \\ L. (s t) = L. (s) t & untuk s tidak dalam bentuk normal \\ L. (s t) = s L. (t) & jika s, tapi tidak t dalam bentuk normal \\ L. ((λ x . s) t) = s [t / x] & jika s, t keduanya dalam bentuk normal \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

Intuisi alami untuk pengurangan paling kiri adalah bahwa ia akan melakukan semua pekerjaan - tidak ada redex yang bisa hilang, dan karenanya harus abadi. Karena strategi yang sesuai adalah abadi untuk logika kombinatori (tidak diketik) (reduksi terdalam adalah abadi untuk semua TRWs ortogonal), ini tidak terasa seperti optimisme mata-biru yang sama sekali tidak terkekang ...

$\lambda$

Jika jawabannya ternyata 'tidak', sebuah pointer ke contoh tandingan akan sangat menarik juga.

— kow
sumber

Crosspost dari MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

... seperti yang disebutkan di baris pertama.

— kow

@kow: Ya Anda benar, dan tidak ada yang salah dengan crossposting :) Tautan ini hanya untuk keuntungan mengikuti komentar dan jawaban di MO, untuk mencegah penjawab ganda. Lihat diskusi tentang meta .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@kow: Ketika Anda melakukan crosspost pertanyaan lain kali, jangan lupa untuk menambahkan tautan, lebih disukai di kedua arah.

— Tsuyoshi Ito

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$ .

Langkah reduksi pertama dengan $F_\infty$ adalah $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$ .

— Radu GRIGore
sumber