Matriks seimbang eksplisit

Apakah mungkin untuk membangun sebuah eksplisit 0 / 1 -matrix dengan N 1,5 yang seperti bahwa setiap N 0,499 × N 0,499 submatrix mengandung kurang dari N 0,501 orang?$N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

Atau mungkin dimungkinkan untuk membuat set hitting yang eksplisit untuk properti tersebut.

Sangat mudah untuk melihat bahwa matriks acak memiliki properti ini dengan probabilitas secara eksponensial mendekati . Juga, expander pencampuran lemma tidak cukup untuk mendapatkan sifat ini.$1$

Saya kira generator pseudorandom yang mengelabui persegi kombinatorial dapat membantu di sini, tetapi mereka dirancang untuk distribusi seragam dan saya pada dasarnya membutuhkan sini.$B(N^2, N^{-0.5})$

Apa yang Anda cari adalah ekstraktor satu-bit untuk dua sumber independen: fungsi , sehingga, asalkan X, Y adalah variabel acak dengan min-entropi 0,499 * log (N), E (X, Y) hampir seimbang.$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

Ini masalah sulit yang terkenal. Untuk parameter yang Anda inginkan, saya percaya itu diselesaikan oleh Bourgain. Lihat di sini: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Jawaban ini didasarkan pada ide Dana dalam jawabannya di atas.

Saya pikir Anda dapat membangun matriks seperti itu menggunakan kondensor lossy dua sumber. Perbaiki dan katakan N = 2 n . Misalkan Anda memiliki fungsi eksplisit f ( x , y ) yang mengambil dua sumber independen acak ( X , Y ) , masing-masing panjang n dan memiliki min-entropi setidaknya k = n ( 1 / 2 - δ ) dan output berurutan dari n ′ = n /$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$bit yang -dekat dengan distribusi dengan min-entropi setidaknya k ' = n ( 1 / 2 - 3 δ ) . Saya pikir Anda dapat menggunakan argumen probabilistik standar untuk menunjukkan bahwa fungsi acak memenuhi sifat-sifat ini (dengan probabilitas luar biasa) jika 2 k > k ′ + log ( 1 / ϵ ) + O ( 1 ) . Untuk argumen probabilistik harus serupa dengan apa yang digunakan dalam makalah berikut untuk kondensor lossless dan konduktor yang lebih umum:$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Konduktor Keacakan dan Ekspansi Derajat Konstan Melampaui Derajat / 2 Penghalang

Dalam kasus kami, kami menetapkan , jadi kami yakin tentang keberadaan fungsi yang kami butuhkan. Sekarang, argumen rata-rata menunjukkan bahwa ada string n ′ -bit z sedemikian sehingga jumlah ( x , y ) dengan f ( x , y ) = z setidaknya 2 1,5 n . Misalkan Anda tahu z seperti itu dan memperbaikinya (Anda dapat memilih sembarang $\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$jika Anda juga tahu bahwa fungsi Anda memetakan distribusi yang sepenuhnya seragam ke distribusi yang dekat dengan seragam). Sekarang mengidentifikasi entri dari Anda N × N matriks dengan kemungkinan ( x , y ) dan menempatkan 1 pada posisi ( x , y ) jika dan hanya jika f ( x , y ) = z . Dengan pilihan z kita , matriks ini memiliki setidaknya 2 1,5 $O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$ yang

$2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

$f$