Solusi maksimal minimum dari piringan hitam

12

Pemrograman linier, tentu saja, saat ini sangat dipahami. Kami memiliki banyak pekerjaan yang mencirikan struktur solusi yang layak, dan struktur solusi optimal. Kami memiliki dualitas yang kuat, algoritma poli-waktu, dll.

Tapi apa yang diketahui tentang solusi maksimal minimum piringan hitam? Atau, setara, solusi minimal maksimum?

(Ini sebenarnya bukan pertanyaan penelitian, tapi mungkin kita dapat memiliki sesuatu yang kurang teknis untuk liburan. Saya hanya ingin tahu, dan setelah beberapa googling saya merasa bahwa saya harus kehilangan kata kunci yang tepat. Rasanya seperti jelas masalah untuk belajar, tetapi saya hanya menemukan beberapa makalah sporadis yang menyebutkan masalah.)

Untuk mempermudah, mari fokus pada pengepakan dan tutup piringan hitam . Dalam pengepakan LP kami diberi matriks non-negatif . Sebuah vektor adalah layak jika dan . Kita mengatakan bahwa adalah maksimal jika layak dan kita tidak bisa dengan rakus meningkatkan komponen apa pun. Artinya, jika dan , maka tidak layak. Dan akhirnya, adalah a $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ maksimal minimum solusi, jika meminimalkan fungsi tujuan antara semua solusi yang maksimal. $\sum_i x_i$

(Anda dapat menentukan solusi minimal maksimum LP penutup secara analog).

Seperti apa ruang solusi maksimal minimumnya? Bagaimana kita dapat menemukan solusi seperti itu? Seberapa sulit untuk menemukan solusi seperti itu? Bagaimana kita bisa memperkirakan solusi seperti itu? Siapa yang mempelajari hal-hal seperti itu, dan apa istilah yang tepat untuk itu?

Pertanyaan-pertanyaan ini awalnya dimotivasi oleh set dominasi tepi dan pencocokan maksimal minimum . Telah diketahui (dan cukup mudah dilihat) bahwa pencocokan maksimal minimum adalah set dominasi tepi minimum; sebaliknya, mengingat set dominasi tepi minimum, mudah untuk membangun pencocokan maksimal minimum.

Jadi mereka pada dasarnya adalah masalah yang sama. Kedua masalah adalah NP-hard dan APX-hard. Ada algoritma 2-aproksimasi sepele: pencocokan maksimal apa pun.

Namun, relaksasi LP "alami" mereka terlihat sangat berbeda. Jika Anda mengambil masalah mendominasi set mendominasi dan membentuk LP relaksasi alami, Anda mendapatkan LP penutup. Namun, jika Anda mengambil masalah menemukan pencocokan maksimal minimum dan mencoba untuk menghasilkan relaksasi LP, lalu apa yang Anda dapatkan? Nah, tentu saja pencocokan fraksional adalah solusi yang layak untuk LP pengepakan; maka pencocokan fraksional maksimal adalah solusi maksimal dari piringan hitam tersebut, dan karenanya pencocokan fraksional minimum karenanya adalah solusi maksimal minimum dari piringan hitam tersebut. :)

— Jukka Suomela
sumber

3

Definisi Anda tentang maksimal sebagai "kita tidak bisa dengan rakus meningkatkan komponen apa pun" terdengar sangat mirip dengan Nash Equilibrium. Apakah ada hubungan tersembunyi dengan teori permainan di sini?

— Derrick Stolee

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

A x = 1

$Ax = 1$

Apakah Anda terbiasa dengan program linear bottleneck , di mana aspek minimax semuanya dalam fungsi tujuan?

— Mike Spivey

11

Maksimal dan minimalitas: Mereka adalah jenis optimalitas Pareto.
Kompleksitas: Saya pikir mencari solusi maksimal minimum adalah NP-hard. Saya akan mengurangi masalah dominasi kemerdekaan (alias masalah set independen minimum maksimal) dalam grafik bipartit. Masalah ini (lebih tepatnya versi keputusannya) dikenal sebagai NP-complete (DG Corneil dan Y. Perl, Clustering dan dominasi dalam grafik sempurna. Discrete Applied Mathematics 9 (1984) 27-39). Karena grafik bipartit sempurna, set polititope independennya ditentukan oleh ketidaksetaraan klik, dan jumlah klik dalam grafik bipartit adalah polinomial. Oleh karena itu, kita dapat secara eksplisit menuliskan sistem ketidaksetaraan linear Ax <= 1, x> = 0 untuk set politit independen. Solusi ekstrem sesuai dengan set independen, dan solusi maksimal ekstrem sesuai dengan set independen maksimal.

— Yoshio Okamoto
sumber

2

$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

Sayangnya saya mengalami kesulitan menemukan penjelasan yang transparan tentang hal ini, tetapi saya sama sekali tidak ahli tentang polyhedra. Semoga Anda akan menemukan itu relevan dengan masalah yang dihadapi.

— Andrew D. King
sumber