Grafik planar 3-warna di ?

Saya bertanya-tanya apakah tugas mencari planar 3-warna diketahui sebagai kompleksitas atau lebih rendah? Ini terasa seperti itu akan menjadi konsekuensi intuitif berdasarkan hasil pemisah planar, namun di wikipedia , itu hanya menyebutkan set independen, pohon Steiner, siklus Hamilton, dan TSP. Di bawah ini saya sertakan beberapa alasan yang menurut saya hampir mencapai batasan ini. $O\left(c^{\sqrt{n}}\right)$

Dengan diagram keputusan tereduksi nol (ZDD), saya yakin Anda bisa mendapatkan , dan saya ingin tahu bagaimana saya bisa melakukan yang lebih baik. Apa yang saya pikirkan agak sederhana. Catatan: selama ini, ZDD yang saya jelaskan adalah ternary, tapi saya pikir itu tidak terlalu penting. Untuk ZDD, diberi urutan, , dari simpul ke warna, jumlah node pada langkah akan eksponensial sehubungan dengan ukuran perbatasan, . $O\left(c^{O(log_2(n)\sqrt{n})}\right)$ $L = \{v_1 \dots v_n\}$ $i$ $F_i = \{v_k | k < i \land v_k~v_j, j \geq i \}$

Untuk membuat pemesanan Anda , Anda dapat membuat pohon dekomposisi cabang yang optimal, , dalam waktu polinomial, yang memiliki lebar paling banyak . Kemudian, pilih daun acak dari untuk menjadi root. Dengan BFS, timbang setiap tepi dengan jumlah daun yang tidak terhubung ke jika Anda harus menghapus dari . Kemudian, lakukan DFS untuk akhirnya membuat , selalu turun paling jauh dari , memilih satu dengan bobot paling sedikit jika ada dasi, dan memilih sewenang-wenang jika masih ada dasi. Ketika kita mencapai daun, tambahkan $L$ $b$ $\sqrt{n}$ $v’$ $b$ $e$ $v’$ $e$ $b$ $L$ $v’$ $(u,v)$ $u$ / untuk jika salah tidak di . Biarkan menjadi komponen diinduksi dalam oleh simpul mengunjungi ketika kita menambahkan ke . Kemudian, dibatasi oleh lebar cabang kali jumlah tepi perlu dihapus dari untuk mendapatkan komponen . dibatasi kira-kira oleh dari simpul dalam , yang linear ke karena kita sedang berhadapan dengan grafik planar. $v$ $L$ $L$ $c_i$ $b$ $v_i$ $L$ $F_i$ $x_i$ $b$ $c_i$ $x$ $log_2$ $b$ $n$

Dengan itu, Anda memeriksa ketiga warna untuk setiap node untuk masing-masing perbatasan dan selesai. $n$

— Zachary Hunter
sumber

Mengapa pertanyaan ini tidak dipilih?

— Sasho Nikolov

Tidak sulit untuk menemukan algoritma DP yang berjalan dalam untuk memeriksa apakah grafik dengan treewidth dapat diwarnai dengan 3 warna. Karena grafik planar memiliki treewidth terikat waktu yang Anda inginkan berikut.

3^{k} p o l y (n)

$3^k poly(n)$

k

$k$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Chandra Chekuri

Teorema pemisah planar cukup untuk mendapatkan dekomposisi pohon lebar dalam waktu polinomial. Anda tidak perlu algoritma yang tepat untuk waktu berjalan yang diklaim. Juga ada perkiraan faktor konstan untuk treewidth dalam grafik planar. Ini adalah hasil yang terkenal.

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Chandra Chekuri

Sebuah komentar kecil: Karena dalam eksponen memiliki faktor konstan di depannya (berasal dari ukuran pemisah masing-masing treewidth), basis harus menjadi basis : .

\sqrt{n}

$\sqrt n$

3

$3$

c o n s t

$const$

O (c^{\sqrt{n}})

$O(c^{\sqrt{n}})$

— Gamow

Jadi kita tahu itu bisa dilakukan di untuk beberapa c yang tidak sepenuhnya menjawab pertanyaan.

O (c^{\sqrt{n}})

$O(c^{\sqrt n})$

— Hermann Gruber

Saya merekomendasikan membaca Bagian 7 dan 14 dalam buku yang sangat bagus oleh Cygan, Fomin, Kowalik, Lokshtanov, Marx, Pilipczuk, Pilipczuk, dan Saurabh .

Singkatnya, Gu dan Tamaki memberikan algoritma waktu kuadratik yang menemukan dekomposisi cabang dari grafik planar lebar paling banyak . Kemudian Robertson dan Seymour dalam (5.1) memberikan dekomposisi pohon dengan lebar kurang dari . Kemudian algoritma pemrograman dinamis klasik (lihat, misalnya, Marx ) memecahkan -Coloring in time . $3\sqrt{n}$ $\frac{9\sqrt{n}}{2}$ $3$ $3^{\frac{9\sqrt{n}}{2}}\textrm{poly}(n)<141^{\sqrt{n}}$

Di sisi lain, diketahui ( Lichtenstein ) bahwa di bawah Hipotesis Eksponensial Waktu (ETH), masalah Planar -SAT adalah -hard. Dan pengurangan dari Planar -SAT ke Planar -Coloring menyiratkan bahwa di bawah ETH tidak ada algoritma yang menyelesaikan Planar -Coloring dalam waktu . $3$ $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ $3$ $3$ $3$ $2^{o(\sqrt{n})}$

— Alex Golovnev
sumber

Kita dapat menemukan dekomposisi cabang yang tepat dalam waktu polinomial pada grafik planar. Ini dengan kertas Seymour dan Thomas: panggilan routing dan penangkap tikus. Jadi, Anda dapat menghapus faktor 3 dari eksponen.

— Saeed

@ Saeed, apakah kita juga tahu bahwa lebar cabang grafik planar dibatasi oleh ?

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Alex Golovnev

Poin bagus, saya ingat Fomin dkk memiliki makalah yang menunjukkan batas atas hampir . Tidak tahu apa batas atas terbaik sekarang. Di sisi lain saya pikir jika kita benar-benar ingin mencukur eksponen, harus dimungkinkan untuk secara langsung menggunakan pemrograman dinamis berdasarkan dekomposisi cabang, tanpa transformasi ke dekomposisi pohon (mungkin sudah ada dalam literatur atau jika tidak saya pikir itu adalah bisa dilakukan dalam waktu yang tepat).

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

— Saeed