Teknik untuk Membalik Orde Kuantifikasi

Telah diketahui secara umum bahwa urutan bilangan universal dan eksistensial tidak dapat dibalik. Dengan kata lain, untuk rumus logis umum ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

Di sisi lain, kita tahu sisi kanan lebih membatasi daripada sisi kiri; yaitu, $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ .

Pertanyaan ini berfokus pada teknik untuk memperoleh $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ , setiap kali ia memegang untuk $\phi(\cdot,\cdot)$ .

Diagonalisasi adalah salah satu teknik semacam itu. Saya pertama kali melihat penggunaan diagonalisasi dalam makalah Relativizations dari $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ Pertanyaan (lihat juga catatan singkat oleh Katz ). Dalam makalah itu, penulis terlebih dahulu membuktikan bahwa:

Untuk setiap mesin oracle deterministik, waktu polinomial M, terdapat bahasa B sehingga $L_B \ne L(M^B)$ .

Mereka kemudian membalik urutan bilangan (menggunakan diagonalisasi ), untuk membuktikan bahwa:

Ada bahasa B sehingga untuk semua deterministik, waktu-M M kita punya .$L_B \ne L(M^B)$

Teknik ini digunakan dalam makalah lain, seperti [CGH] dan [AH] .

Saya menemukan teknik lain dalam bukti Teorema 6.3 dari [IR] . Ini menggunakan kombinasi teori ukuran dan prinsip lubang-merpati untuk membalikkan urutan bilangan.

Saya ingin tahu teknik apa yang digunakan dalam ilmu komputer, untuk membalikkan urutan pengukur universal dan eksistensial?

Pembalikan bilangan adalah properti penting yang sering di belakang teorema terkenal.

Misalnya, dalam analisis perbedaan antara dan adalah perbedaan antara kontinuitas pointpoint dan uniform . Teorema terkenal mengatakan bahwa setiap peta kontinu pointwise adalah terus menerus seragam, asalkan domain itu bagus, yaitu kompak .$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

Faktanya, kekompakan adalah inti dari pembalikan kuantifier. Pertimbangkan dua tipe data dan yang adalah terang-terangan dan adalah kompak (lihat di bawah untuk penjelasan dari istilah-istilah ini), dan biarkan menjadi hubungan semidecidable antara dan . Pernyataan dapat dibaca sebagai berikut: setiap titik di dicakup oleh beberapa . Karena set "computably open" (semidecidable) dan$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$kompak ada subover terbatas. Kami telah membuktikan bahwa menyiratkan Seringkali kita dapat mengurangi keberadaan daftar terbatas menjadi tunggal . Sebagai contoh, jika dipesan secara linier dan adalah monoton dalam sehubungan dengan pesanan maka kita dapat menganggap sebagai yang terbesar dari .

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Untuk melihat bagaimana prinsip ini diterapkan dalam kasus yang umum, mari kita lihat pernyataan bahwa adalah fungsi kontinu. Kami menjaga sebagai variabel bebas agar tidak bingung tentang kuantifikasi universal luar: Karena kompak dan perbandingan real dapat ditentukan, pernyataan dapat dipilih. Real positif terbuka dan kompak, sehingga kita dapat menerapkan prinsip: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Karena adalah antimonoton dalam yang terkecil dari melakukan tugasnya, jadi kita hanya memerlukan satu : Apa yang kita dapatkan adalah kesinambungan seragam dari .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

Secara samar-samar, suatu tipe data kompak jika memiliki quantifier universal yang dapat dihitung dan jelas jika ia memiliki quantifier eksistensial yang dapat dihitung. Bilangan bulat (non-negatif) jelas karena untuk menentukan setengah jadi apakah , dengan semidecidable, kami melakukan pencarian paralel dengan dovetailing . Ruang Cantor kompak dan terbuka, seperti yang dijelaskan oleh Abstrak Batu Dualitas Paul Taylor dan Martin Escardo " Topologi Sintetik Datatypes dan Ruang Klasik " (juga melihat gagasan terkait ruang dicari ).$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

Mari kita terapkan prinsip itu pada contoh yang Anda sebutkan. Kami melihat bahasa sebagai peta dari kata (hingga) dari alfabet tetap ke nilai boolean. Karena kata-kata hingga dalam korespondensi bijective yang dapat dihitung dengan integer, kami dapat melihat bahasa sebagai peta dari integer ke nilai boolean. Yaitu, tipe data dari semua bahasa, hingga isomorfisma yang dapat dihitung, tepatnya ruang Cantor nat -> bool, atau dalam notasi matematika , yang ringkas. Mesin Turing polinomial waktu dijelaskan oleh programnya, yang merupakan string hingga, sehingga ruang semua (representasi dari) mesin Turing dapat dianggap atau , yang terbuka.$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

Diberikan mesin Turing dan bahasa , pernyataan yang mengatakan "bahasa ditolak oleh " dapat ditentukan karena itu sebenarnya dapat ditentukan: jalankan dengan input dan lihat apa ya. Ketentuan untuk prinsip kami dipenuhi! Pernyataan "setiap mesin oracle memiliki bahasa sehingga tidak diterima oleh " ditulis secara simbolis sebagai Setelah inversi dari quantifiers kita dapatkan $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Oke, jadi kami ke banyak bahasa. Bisakah kita menggabungkannya menjadi satu? Saya akan meninggalkan itu sebagai latihan (untuk saya dan Anda!).

Anda mungkin juga tertarik dengan pertanyaan yang sedikit lebih umum tentang bagaimana mengubah dengan pernyataan setara dari formulir , atau sebaliknya. Ada beberapa cara untuk melakukan ini, misalnya:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Bentuk normal skolem ,
• Bentuk normal herbrand ,
• Interpretasi fungsional Gödel .

Kumpulan hard-core Impagliazzo memungkinkan Anda untuk beralih bilangan dalam konteks asumsi kekerasan-komputasi. Ini kertas aslinya . Anda dapat menemukan berton-ton surat kabar dan pos terkait dengan Googling.

Lemma mengatakan bahwa jika untuk setiap algoritma A ada set input besar di mana A gagal menghitung fungsi tetap f, maka sebenarnya ada set input besar di mana setiap algoritma gagal menghitung f dengan probabilitas mendekati 1 / 2.

Lemma ini dapat dibuktikan menggunakan teorema min-max atau boosting (teknik dari teori pembelajaran komputasi), yang keduanya merupakan contoh switching quantifiers.

Bagi saya, bukti "kanonik" dari teorema Karp-Lipton (bahwa ) memiliki citarasa ini. Tapi di sini bukan pernyataan teorema aktual di mana pembilang dapat dibalik, melainkan "pembilang" dibalik dalam model komputasi bolak-balik, menggunakan asumsi bahwa memiliki sirkuit kecil.$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Anda ingin mensimulasikan perhitungan formulir

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

di mana adalah predikat waktu polinomial. Anda dapat melakukan ini dengan menebak sirkuit kecil untuk (katakanlah) kepuasan, memodifikasi sehingga memeriksa sendiri dan menghasilkan tugas yang memuaskan ketika inputnya memuaskan. Kemudian untuk semua , buat instance SAT yang setara dengan dan selesaikan. Jadi, Anda telah menghasilkan perhitungan formulir yang setara$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ memuaskan menurut .$C]$

Penggunaan dasar ikatan terikat dalam metode probabilistik dapat diartikan sebagai cara untuk membalikkan urutan bilangan. Meskipun ini sudah disebutkan dalam pertanyaan secara implisit karena bukti oleh Impagliazzo dan Rudich adalah contoh dari ini, saya pikir itu layak untuk dinyatakan lebih eksplisit.

Misalkan X adalah terbatas dan bahwa untuk setiap x ∈ X , kita tahu tidak hanya bahwa beberapa y ∈ Y memenuhi φ ( x , y ) tetapi juga bahwa banyak pilihan y ∈ Y memuaskan φ ( x , y ). Secara formal, anggaplah kita tahu (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | untuk beberapa ukuran probabilistik pada Y. Kemudian ikatan gabungan memungkinkan kita untuk menyimpulkan Pr _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ￢φ ( x , y )] <1, yang setara dengan (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ).

Ada variasi argumen ini:

1. Jika X tidak terbatas, kadang-kadang kita dapat mendiskritisasi X dengan mempertimbangkan metrik yang sesuai pada X dan ε -net. Setelah diskritisasi X , kita dapat menggunakan ikatan gabungan seperti di atas.

2. Ketika peristiwa φ ( x , y ) untuk nilai x yang berbeda hampir independen, kita dapat menggunakan lemma lokal Lovász alih-alih terikat dengan serikat.

Saya ingin menambahkan beberapa teknik lain. Meskipun dua teknik pertama tidak tepat untuk membalikkan urutan penjumlahan universal dan eksistensial, mereka memiliki rasa yang sangat mirip. Karena itu, saya mengambil kesempatan untuk menggambarkannya di sini:

Averaging Lemma: Digunakan untuk membuktikan dan banyak teorema menarik lainnya. Secara informal , asumsikan bahwa menunjukkan himpunan pelanggan ke beberapa perpustakaan, menunjukkan himpunan buku di perpustakaan, dan untuk dan , proposisi adalah true iff "pelanggan suka buku . " Lemma rata-rata menyatakan bahwa: jika untuk setiap , ada setidaknya 2/3 dari di sehingga berlaku, maka ada satu$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, Sehingga untuk setidaknya 2/3 dari 's di , proposisi memegang. (Ini dapat dengan mudah dibuktikan melalui reductio ad absurdum dan argumen penghitungan.)$s$$S$$\phi(s,b)$

Sekarang mari , dan biarkan menjadi mesin PPT yang memutuskan . Misalkan waktu berjalan dibatasi oleh polinomial . Kemudian, untuk setiap , dan untuk setidaknya 2/3 dari 's, , itu menyatakan bahwa . Di sini, adalah mesin yang menggunakan keacakan , dan adalah fungsi karakteristik . Lemma rata-rata kemudian digunakan untuk menunjukkan bahwa untuk setiap$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, ada satu , sehingga setidaknya untuk 2/3 dari panjang , . tunggal ini berfungsi sebagai saran untuk , dan karenanya .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Swapping Lemma: Zachos dan Fürer memperkenalkan quantifier probabilistik baru (yang kira-kira berarti "sebagian besar"). Mereka membuktikan bahwa (menghilangkan detail):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Perhatikan bahwa ini adalah teorema logika orde kedua.

Menggunakan lemma swapping, mereka membuktikan sejumlah teorema menarik, seperti teorema BPP dan teorema . Saya merujuk Anda ke kertas asli untuk informasi lebih lanjut.$MA \subseteq AM$

Sebuah teorema mirip dengan Karp-Lipton teorema disebutkan dalam Ryan Williams posting: .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$