Relaksasi LP set independen

13

Saya sudah mencoba relaksasi LP berikut set independen maksimum

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

Saya mendapatkan $1/2$ untuk setiap variabel untuk setiap graf non-bipartit kubik aku mencoba.

Apakah benar untuk semua grafik non-bipartit kubik yang terhubung?
Apakah ada relaksasi LP yang bekerja lebih baik untuk grafik seperti itu?

Pembaruan 03/05 :

Inilah hasil relaksasi LP berbasis klik yang disarankan oleh Nathan

Saya telah meringkas eksperimen di sini. Menariknya, tampaknya ada beberapa grafik non-bipartit yang relaksasi LP paling sederhana adalah integral.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Yaroslav Bulatov
sumber

Solusinya

tentu tidak unik. Dalam grafik bipartit kubik, Anda dapat memiliki solusi optimal dengan

di satu bagian dan

di bagian lain.

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela

1

Maaf, saya melewatkan bagian penting, saya menganggap grafik kubik non-bipartit saja. Setiap grafik kubik bipartit yang saya coba memiliki solusi integral

— Yaroslav Bulatov

Anda juga perlu menambahkan "terhubung" jika Anda ingin menghindari solusi yang tidak unik.

— Jukka Suomela

2

(1) Anda lupa menulis batasan nonnegativitas. (2) Untuk grafik bipartit, nilai optimal dari relaksasi LP ini selalu sama dengan ukuran maksimum dari set independen. Ini adalah akibat langsung dari teorema König .

— Tsuyoshi Ito

2

@Yaroslav: Pertanyaan sampingan: bagaimana Anda menggambar grafik ini?

— Tim

16

Non-bipartit terhubung grafik kubik memiliki solusi optimal yang unik ; dalam grafik kubik bipartit Anda memiliki solusi optimal yang tidak terpisahkan. $x_i = 1/2$

Bukti: Dalam grafik kubik, jika Anda menjumlahkan semua kendala , Anda memiliki , dan karenanya yang optimal paling banyak adalah . $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

Solusinya untuk semua adalah sepele layak, dan karenanya juga optimal. $x_i = 1/2$ $i$

Dalam grafik kubik bipartit, setiap bagian memiliki setengah dari node, dan solusi dalam satu bagian karenanya juga optimal. $x_i = 1$

Setiap solusi yang optimal harus ketat, yaitu, kita harus memiliki dan karenanya untuk setiap tepi . Jadi jika Anda memiliki siklus yang aneh, Anda harus memilih untuk setiap node dalam siklus. Dan kemudian jika grafik terhubung, pilihan ini disebarkan ke mana-mana. $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
sumber

2

Seperti yang saya tulis dalam komentar pada pertanyaan, Anda hanya perlu bipartiteness untuk membuktikan keberadaan solusi optimal yang tidak terpisahkan (tetapi ini membutuhkan bukti yang berbeda dari Anda).

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Ya, teorema König baik untuk diingat. Sebagai contoh, bersama dengan pengamatan di atas, itu akan menunjukkan bahwa setiap grafik kubik bipartit memiliki 1-factorisation (yaitu, dapat dipartisi dalam tiga pencocokan sempurna). Tentu saja ini adalah cara "salah" untuk membuktikan hasil ini, tetapi saya pikir ini dengan baik menunjukkan kekuatan teorema König - jika Anda hanya ingat teorema König, ada banyak hasil klasik dalam teori grafik yang kemudian dapat Anda temukan kembali dengan mudah .

— Jukka Suomela

12

LP ini setengah-integral untuk semua grafik, yaitu ada solusi optimal sehingga setiap variabel dalam {0,1 / 2,1}. Ini hanya mengikuti dari teorema Nemhauser dan Trotter. Tentu saja kesimpulan yang sama dari setengah-integralitas mengikuti untuk LP dari masalah komplemen (vertex cover). Ketika grafik adalah bipartit, solusinya integral. Ini mengikuti hanya dari teorema min-cut max-flow atau bekerja dengan solusi titik ekstrim dari LP ini. Juga, 1/2 tepi membentuk siklus aneh.

Tentu saja, LP ini tidak baik untuk menyelesaikan masalah IS. Menambahkan kendala Klik atau SDP adalah pendekatan yang jauh lebih baik.

Paket Vertex: sifat struktural dan algoritma GL Nemhauser dan Trotter-Math. Program., 1975

— Mohit Singh
sumber

Benar, lihat juga Teorema 5.6 dari makalah ini untuk algoritma yang sangat sederhana yang efisien menemukan solusi setengah-integral.

— Jukka Suomela

LP dengan kendala Clique memecahkan sekitar 50% lebih banyak grafik dari set di atas .... di mana saya dapat menemukan formulasi SDP?

— Yaroslav Bulatov

7

Tesis Ph.D Sergiy Butenko dari tahun 2003 mengulas beberapa relaksasi LP MIS lainnya, serta beberapa relaksasi kuadratik.

— Suresh Venkat
sumber

6

$K_4$

Ini disebut nomor himpunan bebas fraksional. Anda akan menemukan beberapa informasi di sana: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring atau dalam buku "Teori grafik pecahan" dari Daniel Ullman dan Edward Scheinerman ( http://www.ams.jhu.edu/~ers / fgt / ).

$K_k$ . Bagaimanapun, nilai hanya bisa menjadi "lebih representatif" dari nilai integer nyata (*) :-)

Nathann

(*) ini dikatakan, Anda secara teoritis memiliki perbedaan besar sewenang-wenang antara hasil optimal dalam LP di mana semua klik diwakili dan set independen optimal

— Nathann Cohen
sumber

1

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

menarik, ini tampaknya terkait dengan kemudahan IndependentSet dalam grafik chordal

— Yaroslav Bulatov

Saya melakukan beberapa percobaan, dan solusi dari relaksasi LP ini selalu integral dalam grafik chordal

— Yaroslav Bulatov

1

@YaroslavBulatov Ada alasan untuk pengamatan Anda. Ketimpangan klik dan batas nonnegativitas menyediakan cembung set independen jika dan hanya jika grafik sempurna. Grafik chordal sempurna.

— Austin Buchanan