Dugaan menyiratkan Teorema Empat Warna


38

Four Color Theorem (4CT) menyatakan bahwa setiap grafik planar adalah empat yang dapat diwarnai. Ada dua bukti yang diberikan oleh [Appel, Haken 1976] dan [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997]. Kedua bukti ini dibantu oleh komputer dan cukup menakutkan.

Ada beberapa dugaan dalam teori grafik yang menyiratkan 4CT. Penyelesaian dugaan ini mungkin membutuhkan pemahaman yang lebih baik tentang bukti 4CT. Inilah satu dugaan seperti itu:

Dugaan : Misalkan menjadi grafik planar, misalkan adalah seperangkat warna dan merupakan involusi bebas titik tetap. Biarkan menjadi sedemikian rupaC f : C C L = ( L v : v V ( G ) )GCf:CCL.=(L.v:vV(G))

  • |L.v|4 untuk semua danvV
  • jika maka untuk semua , untuk semua . f ( α ) L v v V α CαL.vf(α)L.vvVαC

Maka terdapat -coloring grafik .GL.G

Jika Anda tahu dugaan seperti itu menyiratkan 4CT, harap sebutkan satu di setiap jawaban. Saya tidak dapat menemukan daftar dugaan seperti itu.


6
"Mereka tidak memiliki bug dalam Coq dan tidak ada sinar kosmik terbang melalui komputer mereka ketika mereka memeriksa teorema 4 warna" adalah salah satu dugaan seperti itu.
Andrej Bauer

ref untuk dugaan yang dinyatakan?
vzn

Pertanyaan terkait ditanyakan di mathoverflow: mathoverflow.net/q/189097/1345
Ian Agol

Jawaban:


28

4CT setara dengan:


20

Verifikasi mekanis lain dari teorema 4-warna telah dilakukan oleh George Gonthier di Microsoft Research Cambridge. Perbedaannya dengan buktinya adalah bahwa seluruh teorema telah dinyatakan dan diverifikasi secara mekanis menggunakan asisten Coq proof, sedangkan bukti lainnya hanya berisi perhitungan kernel yang ditulis dalam Bahasa Assembly dan C, dan dengan demikian memiliki risiko menjadi buggy. Bukti Gonthier mencakup aspek perhitungan dan yang logis hanya dalam 60.000 baris Coq.



18

Lihatlah T. Saaty, Tiga belas variasi warna pada dugaan 4-warna Guthrie, American Math. Bulanan, 79 (1972) 2-43 untuk banyak contoh.

Juga, dalam buku David Barnette, Peta Pewarnaan, Polyhedra, dan Masalah Empat-Warna, MAA, Seri Dolciani, Volume 8, 1983 banyak contoh diberikan. Salah satu hasil yang sangat menarik dalam buku Barnete adalah: Jika selalu mungkin untuk memotong simpul dari polyhedron cembung sehingga untuk menghasilkan polyhedron cembung 3-valent sehingga jumlah sisi masing-masing wajah adalah kelipatan dari tiga, itu menyiratkan bahwa kebenaran dugaan empat warna.



12

Dalam makalah Absolute Planar Retracts dan Four Color Conjecture , Pavol Hell membuktikan beberapa formulasi yang setara untuk 4CT. Salah satunya berbunyi sebagai berikut:

Setiap grafik planar 4-colorable (The 4CT) jika ada planar mutlak menarik.

HGGr:V(G)V(H)r(v)=vvV(H)


11

Setiap grafik planar kubik tanpa jembatan adalah 3-edge-colourable. (Ini setara dengan 4CT, karena Tait.)


11

Makalah Dror Bar-Natan "Lie Algebras and the Four Color Theorem" (Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, terakhir diperbarui Oktober 1999, arXiv: q-alg / 9606016 ) berisi pernyataan menarik tentang Lie algebras yang setara dengan Teorema Empat Warna. Gagasan yang muncul dalam pernyataan juga muncul dalam teori invarian tipe terbatas knot (invarian Vassiliev) dan 3-manifold.


11

Proposisi 2.4 dalam makalah ini http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A# memberikan rumusan lain untuk 4CT.

GΔ(G)GGΔ(G)GGΔ(G)Δ(G)


GK(G)GK(G)G
GK(G)


4
Bisakah Anda jelaskan di sini, bagi kita yang tidak memiliki akses (atau seperti saya terlalu malas untuk menyalakan VPN untuk mendapatkan akses)?
David Eppstein

9

Deskripsi tingkat tinggi dari bukti otomatis oleh Gonthier patut dibaca, jika Anda mencari lebih banyak wawasan.

Yuri Matiyasevich mempelajari beberapa penyajian kembali probabilistik dari Teorema Empat Warna, yang melibatkan korelasi positif antara dua gagasan kesamaan antara pewarnaan. Bukti kesetaraannya bergantung pada polinomial grafik yang terkait, yang menyediakan kemungkinan penunjuk lain untuk dugaan yang menyiratkan teorema.


8

Saya baru saja membaca di koran Chalopin dan Gonçalves (STOC '09) tentang dugaan Barat berikut ini:

Setiap grafik planar adalah grafik persimpangan segmen di pesawat menggunakan hanya empat arah.

Karena segmen paralel membentuk set independen dalam representasi seperti itu, dugaan ini menyiratkan 4CT, tetapi mungkin bahkan lebih kuat.

Referensi: Masalah Barat, Terbuka . SIAM J Discrete Math Newsletter, 2 (1): 10-12, 1991.


6

Sebuah snark adalah terhubung, bridgeless grafik kubik yang tidak 3--edge yg berhasil. Berikut wikipedia, dugaan snark , generalisasi 4CT, adalah sebagai berikut:

Setiap snark memiliki subgraf yang dapat dibentuk dari grafik Petersen dengan membagi beberapa tepinya.

Sekali lagi menurut wikipedia, bukti dugaan ini diumumkan pada tahun 2001 oleh Robertson, Sanders, Seymour dan Thomas.


Teorema snark tampaknya tidak menyiratkan 4CT, kan?
Hsien-Chih Chang 張顯 之

Itu sebenarnya menyiratkan 4CT: Setiap subdivisi dari grafik Petersen jelas nonplanar, sehingga dugaan snark menyiratkan reformulasi 4CT berikut (karena Tait): Setiap snark adalah nonplanar.
Hermann Gruber

1
Ah, sekarang saya melihat di mana masalah saya. Bukti teorema snark lagi-lagi merupakan bukti berbantuan komputer. Saya mendapat kesan bahwa tidak ada bukti yang dapat diverifikasi manusia untuk 4CT, dan salah paham jawaban Anda. Terima kasih!!
Hsien-Chih Chang 張顯 之


3

Sebagai

LH Kauffman, Merumuskan kembali teorema warna peta , Discrete Mathematics 302 (2005) 145–172

menunjukkan, Prinsip Utama karena G. Spencer-Brown serta dugaan Eliahou-Kryuchkov adalah reformulasi setara FCT.

  • S. Eliahou, Flips diagonal yang ditandatangani dan teorema empat warna, European J. Combin. 20 (1999) 641-646.
  • SI Kryuchkov, Teorema dan pohon empat warna, IV Kruchatov, Institut Energi Atom, Moskow, 1992, IAE-5537/1.
  • G. Spencer-Brown, Hukum Bentuk, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997.

3

Garry Bowlin dan makalah Matthew G. Brin "Mewarnai Grafik Planar melalui Jalur Berwarna di Associahedra", terakhir direvisi 12 Mei 2013, arXiv: 1301.3984 math.CO berisi dugaan berikut di halaman 26:

Dugaan 6.4. Untuk setiap pasangan pohon biner terbatas (D, R) dengan jumlah daun yang sama, ada penandaan tanda D dan kata w dari simbol rotasi yang berlaku untuk D sehingga Dw = R.

Dinyatakan bahwa dugaan 6.4 mengikuti dari proposisi sebelumnya dan teorema dalam makalah ini setara dengan 4CT.


1

Sebuah k Alir pada sebuah grafik diarahkan G adalah grafik diarahkan berasal dengan mengganti setiap sisi di G dengan busur dan menugaskan integer antara -k dan k , eksklusif, sehingga, untuk setiap titik di G, jumlah dari bilangan bulat ditugaskan untuk busur menunjuk ke simpul yang sama dengan jumlah bilangan bulat yang ditugaskan untuk busur menunjuk. NWZ (tidak ada nol) k -flow adalah k -flow di mana tidak ada arc yang diberi nomor 0.

Untuk setiap graf planar G , dual G adalah grafik yang berisi satu simpul untuk setiap wajah dalam penyisipan planar G , dan dua simpul dalam pembagian ganda satu sisi yang menghubungkan mereka untuk setiap tepi yang menghadapinya sesuai di G berbagi di antara mereka di batas-batas mereka. Menurut Teorema Dualitas Aliran Tutte, grafik planar tanpa isthmus (yaitu sisi yang penghapusannya akan menambah jumlah komponen) memiliki aliran NWZ k jika dan hanya jika dualnya k -warna. Dengan kata lain, grafik planar 4-colourable jika dan hanya jika dual-nya memiliki NWZ 4-flow.

Perhatikan bahwa 4CT memerlukan grafik planar yang dipermasalahkan untuk tidak memiliki loop (tepi yang menghubungkan setiap simpul ke dirinya sendiri) karena setiap grafik dengan loop tidak dapat diwarnai dengan set warna, karena setiap simpul dengan loop akan berdekatan dengan vertex dengan warna yang sama, terlepas dari warnanya.


0

Saya sedang mengerjakan ini:

Jika Anda dapat membuktikan teorema untuk peta persegi panjang, yaitu peta yang terbuat dari lembaran kertas yang tumpang tindih, Anda juga telah membuktikan 4ct. Selain itu, hanya peta dengan wajah yang memiliki semua 5 tepi atau lebih yang dapat dipertimbangkan dalam pencarian.

Lihat http://4coloring.wordpress.com/ untuk detailnya.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.