Apakah tipe proposisi? (Apa jenis sebenarnya?)


25

Saya sudah banyak membaca tentang sistem tipe dan semacamnya dan saya mengerti kira-kira mengapa mereka diperkenalkan (untuk menyelesaikan paradoks Russel). Saya juga memahami kira-kira relevansi praktis mereka dalam bahasa pemrograman dan sistem bukti. Namun, saya tidak sepenuhnya yakin bahwa gagasan intuitif saya tentang apa jenis itu, benar.

Pertanyaan saya adalah, apakah valid untuk mengklaim bahwa jenis adalah proposisi?

Dengan kata lain pernyataan "n adalah bilangan asli" sesuai dengan pernyataan "n memiliki jenis 'bilangan alami'" yang berarti bahwa semua aturan aljabar yang melibatkan bilangan asli berlaku untuk n. (Yaitu dengan kata lain, aturan aljabar adalah pernyataan. Pernyataan yang berlaku untuk bilangan asli juga berlaku untuk n.)

Lalu apakah ini berarti bahwa objek matematika dapat memiliki lebih dari satu jenis?

Selain itu, saya tahu bahwa set tidak sama dengan tipe karena Anda tidak dapat memiliki set semua set. Bisakah saya mengklaim bahwa jika himpunan adalah objek matematika yang mirip dengan angka atau fungsi , tipe adalah semacam objek meta-matematika dan dengan logika yang sama, jenisnya adalah objek meta-meta-matematika? (dalam arti bahwa setiap "meta" menunjukkan tingkat abstraksi yang lebih tinggi ...)

Apakah ini memiliki semacam tautan ke teori kategori?


5
Pertanyaan yang berkaitan erat: Bukti / Program dan Proposisi / Jenis
Marc Hamann

1
Diskusi terkait lainnya: Klasifikasi Lambda Calculi
Marc Hamann


1
Dalam beberapa hal ini bermuara pada masalah ontologi. Apa itu himpunan, proposisi, dll. Lebih lanjut ada banyak orang yang menganggap tipe sebagai himpunan juga. Jika seseorang ingin lebih tepat seseorang dapat membedakan antara tipe kecil (yang merupakan set) dan tipe semesta. Untuk bacaan yang bagus yang menyangkut beberapa hal ini, saya merekomendasikan makalah klasik Martin-Löfs "Teori Tipe Intuitionistic"
Tobias Raski

1
Seseorang harus menulis jawaban dari sudut pandang Tipe Teori Homotopy.
Robin Green

Jawaban:


20

Peran kunci tipe adalah untuk membagi objek-objek yang diminati ke dalam jagat yang berbeda, daripada mempertimbangkan segala sesuatu yang ada di satu jagat raya. Awalnya, jenis dirancang untuk menghindari paradoks, tetapi seperti yang Anda tahu, mereka memiliki banyak aplikasi lain. Jenis memberi cara untuk mengklasifikasikan atau mengelompokkan objek (lihat entri blog ).

Beberapa bekerja dengan slogan bahwa proposisi adalah tipe , jadi intuisi Anda pasti akan membantu Anda dengan baik, meskipun ada karya seperti Proposisi sebagai [Jenis] oleh Steve Awodey dan Andrej Bauer yang berpendapat sebaliknya, yaitu bahwa setiap jenis memiliki proposisi yang terkait. Perbedaan dibuat karena tipe memiliki konten komputasi, sedangkan proposisi tidak.

Suatu objek dapat memiliki lebih dari satu jenis karena subtyping dan melalui paksaan tipe .

Jenis umumnya diatur dalam hierarki, di mana jenis memainkan peran dari jenis jenis, tapi saya tidak akan sejauh mengatakan bahwa jenis adalah meta-matematika. Semuanya berjalan pada level yang sama - ini terutama terjadi ketika berhadapan dengan tipe dependen .

Ada hubungan yang sangat kuat antara jenis dan teori kategori. Memang, Bob Harper (mengutip Lambek) mengatakan bahwa Logika, Bahasa (di mana jenis berada), dan Kategori membentuk trinitas suci . Mengutip:

Tiga aspek ini memunculkan tiga sekte ibadah: Logika, yang memberi keunggulan pada bukti dan proposisi; Bahasa, yang memberi keunggulan pada program dan tipe; Kategori, yang memberi keunggulan pada pemetaan dan struktur.

Anda harus melihat Korespondensi Curry-Howard untuk melihat hubungan antara Bahasa Logika dan Bahasa Pemrograman (jenisnya adalah proposisi), dan Kategori Tertutup Cartesian , untuk melihat hubungan antara Teori Kategori dengan.


Terima kasih, tautan pertama sangat membantu! Di dalamnya, Mark menginformasikan bahwa ada "total hubungan <" di atas tipe. Jadi apakah ini berarti bahwa semua "proposisi" dari suatu jenis juga harus mencakup semua "proposisi" dalam jenis di bawahnya? Saya berharap bahwa itu setidaknya akan menjadi "hubungan parsial <" lebih dari tipe ....
Rehno Lindeque

1
Ketika saya membacanya ada urutan total atas atom, yang ada di tempat hanya untuk memastikan bahwa ada jumlah atom yang tak terbatas.
Dave Clarke

Oh saya melihat saya bingung antara "Aksioma Pemahaman" dan "Aksioma ketidakterbatasan" ... Apakah tipe 'nat' (tipe dari semua bilangan alami) menjadi "tipe level 0 tanpa batas"?
Rehno Lindeque

3
"Tritunggal yang Kudus" sebenarnya disebabkan oleh Lambek. Lih pembahasan teori jenis dalam Lambek & Scott (1986). Saya pernah mendengar di McGill salah satu pembicaraan korespondensi Curry-Howard-Lambek.
Charles Stewart

@ Charles: Saya setuju bahwa Lambek kurang mendapat pujian atas kontribusinya yang besar, bahkan jika, ironisnya, itu membaca buku Lambek dan Scott yang meyakinkan saya bahwa "trinitas suci" adalah palsu: ia rusak di hadapan calon yang potensial -penghentian.
Marc Hamann
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.