Ketidakseimbangan maksimum dalam grafik?

Mari adalah graf terhubung dengan node dan tepi . Biarkan menunjukkan (bilangan bulat) dari grafik , dengan total bobot dalam grafik. Berat rata-rata per node adalah . Biarkan menunjukkan penyimpangan dari simpul dari mean. Kami memanggilyang ketidakseimbangan node . $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

Misalkan bobot antara dua node yang berdekatan dapat berbeda paling banyak , yaitu, $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

Pertanyaan : Apa ketidakseimbangan terbesar yang mungkin dimiliki jaringan, dalam hal dan ? Untuk lebih tepatnya, gambarkan vektor . Saya akan puas dengan hasil yang terkait dengan atau . $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

Untuk , batas sederhana dalam hal diameter grafik dapat ditemukan: Karena semua harus dijumlahkan ke nol, jika ada positif besar , harus ada suatu tempat negatif . Maka perbedaan merekasetidaknya, tetapi perbedaan ini paling banyak adalah jarak terpendek antara node dan , yang pada gilirannya dapat paling banyak diameter grafik. $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

Saya tertarik pada batas yang lebih kuat, lebih disukai untuk nomor - atau . Saya kira itu harus melibatkan beberapa teori grafik spektral untuk mencerminkan konektivitas grafik. Saya mencoba mengungkapkannya sebagai masalah max-flow, tetapi tidak berhasil. $1$ $2$

EDIT: Penjelasan lebih lanjut. Saya tertarik pada - atau -norm karena mereka lebih akurat mencerminkan ketidakseimbangan total. Relasi sepele akan diperoleh dari , dan . Saya berharap, bagaimanapun, bahwa karena keterhubungan grafik dan kendala saya dalam perbedaan beban antara node yang berdekatan, bahwa - dan -norm harus jauh lebih kecil. $1$ $2$ $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

Contoh: Hypercube Dimensi d, dengan . Ini memiliki diameter . Ketidakseimbangan maksimum paling banyak . Saran ini sebagai batas atas untuk -norm . Sejauh ini, saya tidak dapat membangun situasi di mana ini sebenarnya diperoleh, yang terbaik yang bisa saya lakukan adalah sesuatu di sepanjang garis , di mana saya menanamkan siklus ke dalam Hypercube dan memiliki node memiliki ketidakseimbangan , , , dll. Jadi, di sini terikat dimatikan oleh faktor $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$ , yang saya anggap sudah terlalu banyak, karena saya sedang mencari (ketat) batas ketat.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
sumber

pertanyaan yang menarik. apakah ada aplikasi tertentu?

— Suresh Venkat

@ András Salamon: Terima kasih atas hasil editnya. @Suresh Venkat: Misalkan bobot mewakili jumlah agen berukuran seragam, yang ingin meminimalkan beban pengalaman mereka. Mereka ingin pindah dari ke jika . Jika tidak ada yang mau bergerak, kami menyebutnya ekuilibrium Nash. Pertanyaan: Apa ketidakseimbangan total terbesar yang bisa kita miliki dalam kesetimbangan Nash?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer

Apakah Anda memiliki contoh grafik di mana batas diameter sederhana Anda terlalu longgar?

— mhum

Yah, saya bisa mengikat dua norma lainnya dengan menggunakan . Saya tertarik pada angka - atau karena mereka lebih akurat menangkap ketidakseimbangan "total". Saya telah menambahkan contoh untuk pertanyaan saya.

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer

Untuk hypercube, bagaimana jika kita menimbang titik dengan berat Hamming mereka? Saya mendapatkan sesuatu seperti untuk , dan saya pikir akan sesuai urutan .

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

Jawaban:

Sejakdibatasi oleh diameter , norma akan dibatasi secara sepele oleh , demikian juga untuk norma , kecuali oleh (sebenarnya norma dibatasi oleh ). $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

Kasus ternyata sangat mudah dianalisis. $\ell_1$

Untuk jalur, mudah untuk melihat bahwa adalah , jadi Anda tidak dapat melakukan yang lebih baik daripada . $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

Untuk pohon -ary yang lengkap , Anda dapat membaginya menjadi dua di root, pengaturan , naik satu sisi dan turun yang lain sampai daun memiliki , menghasilkan lagi. $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

Untuk sebuah klik itu tidak benar-benar peduli bagaimana Anda mendistribusikan beban, karena mereka semua akan berada dalam satu sama lain, dan yang akan menghasilkan lagi. $1$ $O(n) = O(nd)$

Ketika Anda menyadari bahwa yang kita bicarakan di sini adalah fungsi , dan kemudian kita mengambil norma, selama Anda dapat secara sewenang-wenang mendistribusikan bobot secara merata di seluruh rentang, adalah . $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

Satu-satunya cara untuk mengubah ini adalah bermain game dengan massa. Misalnya, jika Anda memiliki beberapa klik raksasa pada titik-titik yang harus seimbang, seperti klik raksasa dengan dua jalur dengan panjang yang sama menjulur keluar, maka Anda dapat mengandalkan batas hanya (misalnya) . $O(d^2)$

Ini mungkin juga berlaku untuk ekspander, tetapi saya tidak yakin. Saya bisa membayangkan sebuah kasus di mana Anda menetapkan dalam grafik reguler dan kemudian membiarkan nilai meningkat selanjutnya dari setiap hop. Tampaknya rata-rata mungkin memiliki massa terbanyak, tetapi saya tidak tahu apakah itu cukup untuk mempengaruhi ikatan. $w_1 = 0$

Saya pikir Anda juga dapat memberikan alasan yang sama tentang . $\ell_2$

EDIT:

Dalam komentar kami menemukan batas (longgar) dari menggunakan kendala masalah dan beberapa teori grafik spektral dasar. $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— Josephine Moeller
sumber

Saya suka jawaban Anda. Namun, saya memiliki masalah dengan " selama Anda dapat secara sewenang-wenang mendistribusikan bobot secara merata di seluruh rentang ". Tidak bisakah saya membayangkan suatu situasi di mana diameter yang diikat memungkinkan saya untuk meletakkan beban suatu tempat tetapi kemudian struktur grafiknya sedemikian rupa sehingga saya tidak mungkin dapat mengkompensasi berat positif besar ini? Jadi, sementara tentu saja adalah batas atas, apakah mungkin untuk mendapatkan batas yang lebih ketat? Akhirnya menggunakan nilai eigen Laplacian terkecil kedua atau nilai eigen kedekatan terbesar kedua (karena mereka menyandikan informasi konektivitas)?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Lagerbaer

Yah Anda tidak menempatkan , Anda menempatkan . Jadi jika Anda memiliki miring , harus ada sejumlah besar bobot kecil yang mengkompensasinya di sisi lain dari rata-rata, atau bobot besar lainnya yang bertentangan secara diametris dengannya. Satu-satunya cara Anda bisa mendapatkan ikatan yang lebih kecil dari adalah dengan mengandalkan struktur. Dan seperti yang saya katakan, saya tidak yakin apa artinya ini bagi, katakanlah, seorang expander. Saya tidak berpikir Anda bisa melakukannya murni berdasarkan konduktansi, karena kasus yang saya sebutkan dalam jawaban saya.

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Josephine Moeller

Izinkan saya menawarkan contoh lain. Grafik dumbell dengan dua klik memiliki konduktansi sangat rendah, tetapi ketidakseimbangannya dibatasi oleh 2.

— Josephine Moeller

Ikatan yang berhubungan dengan struktur akan menjadi sesuatu yang saya akan sangat senang dengannya. Itu sebabnya saya menyebutkan nilai eigen, karena berkaitan dengan properti koneksi. Ada, misalnya, batas pada diameter, jalur rata-rata, angka isoperimetri, dll. Dalam hal vektor eigen terkecil kedua dari matriks Laplacian grafik.

— Lagerbaer

Baca contoh Anda yang lain sekarang. Saya berharap bahwa grafik seperti itu akan memiliki nilai eigen Laplacian terkecil-terkecil kedua juga, karena angka isoperimetri sekitar .

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer

Untuk grafik yang terhubung, ketidakseimbangan dibatasi oleh diameter grafik. Untuk mengikat ketidakseimbangan , kita dapat menulis ulang setiap sebagai mana adalah jalur terpendek dari ke . Tentukan . Kita dapat menulis $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

Setiap adalah atas dibatasi oleh panjang lintasan terpendek dari ke dengan asumsi Anda yang untuk setiap . Oleh karena itu, kita mendapatkan batasan sepele: $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

Ini mungkin sebenarnya tidak terlalu jauh dari optimal. Saya sedang memikirkan pohon -ary lengkap di mana node pada setiap level memiliki bobot satu lebih tinggi dari bobot level sebelumnya. Sebagian besar grafik memiliki bobot tertinggi, . Jadi, rata-rata harus condong ke atas. Sebagai dan lebih besar, saya berharap untuk lebih dekat dan lebih dekat dengan yang berarti ketidakseimbangan harus lebih dekat dan lebih dekat ke . $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— Nicholas Ruozzi
sumber

Sejauh yang saya tahu konstruksi sketsa di sini dapat dibuat ketat, untuk mencapai ketidakseimbangan sedekat seperti yang diinginkan. Namun, karena pertanyaan tidak menentukan apa yang terjadi ketika simpul tidak berdekatan, konstruksi yang lebih mudah adalah grafik yang benar-benar terputus dengan simpul memiliki bobot dan semua simpul lainnya dengan bobot . Ini memiliki berat rata-rata yang juga merupakan ketidakseimbangan maksimum. Ini jelas dapat dibuat dekat dengan dengan memilih cukup besar , dan dapat dibuat sebesar yang diinginkan.

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$

— András Salamon

@ András Salamon: Poin bagus. Jawaban di atas mengasumsikan bahwa grafik yang diberikan terhubung. Saya akan mengeditnya untuk memperjelasnya.

G

$G$

— Nicholas Ruozzi

Saya telah menambahkan batasan "terhubung" ke pertanyaan saya, karena ini adalah apa yang ada dalam pikiran saya. Jawaban di sini menyajikan batasan pada . Juga, ketika saya meminta case "terburuk", saya berpikir bahwa grafik akan diperbaiki, dan saya akan mencoba menemukan case terburuk untuk grafik tertentu.

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer