Kode yang baik didekodekan oleh sirkuit berukuran linear?

Saya mencari kode koreksi kesalahan dari jenis berikut:

kode biner dengan laju konstan,
didekodekan dari beberapa fraksi konstan kesalahan, oleh decoder diimplementasikan sebagai sirkuit Boolean ukuran , di mana adalah panjang pengkodean. $O(N)$ $N$

Beberapa latar belakang:

Spielman, dalam Linear-Time Encodable dan Decodable Error-Correcting Codes , memberikan kode yang dapat didekodekan dalam waktu $O(N)$ dalam model RAM berbiaya logaritmik , dan juga didekodekan oleh sirkuit berukuran-ukuran $O(N \log N)$ .
Guruswami dan Indyk memberikan peningkatan konstruksi dalam Kode Linear Waktu Encodable / Decodable dengan Tingkat Hampir-Optimal . Mereka tidak menganalisis kompleksitas rangkaian yang dihasilkan, meskipun saya percaya itu juga $\Theta(N \log N)$ .

Terima kasih sebelumnya!

co.combinatorics it.information-theory coding-theory

— Andy Drucker
sumber

Andy, secara kebetulan, saya juga menemukan masalah ini sekitar setahun yang lalu dan setelah pencarian singkat, menyimpulkan bahwa pertanyaan itu terbuka. Jadi, saya juga penasaran apakah jawaban itu diketahui.

— arnab

Laporan ECCC ini baru saja keluar. Saya belum memeriksa, tetapi saya berharap ini juga memberikan sirkuit

Θ (N \log N)

$\Theta(N \log N)$ .

— Peter Shor

Apakah decoding

O (N)

$O(N)$ dapat dicapai dalam model AWGN atau model biner?

— T ....

Kode biner yang baik yang sepenuhnya linear time (

O (N)

$O(N)$ ) dapat dikodekan dan didekodekan dan mencapai tingkat kesalahan

2^{- N}

$2^{-N}$ mana

N

$N$ adalah panjang blok kode mungkin memerlukan beberapa ide baru yang fundamental. Sejauh ini yang terbaik adalah di sepanjang garis teorema

1

$1$ di arxiv.org/pdf/1304.4321v2.pdf . Mari kita lihat apakah seseorang meningkatkan

2^{- N^{0.49}}

$2^{-N^{0.49}}$ menjadi

2^{- N^{1 - μ}}

$2^{-N^{1-\mu}}$ di sana dalam

N^{1 + ϵ}

$N^{1+\epsilon}$ pengkodean dan pengodean ulang yang saya percaya seharusnya mungkin (bahkan dengan

μ = 0

$\mu=0$ ). Namun, membawa

ϵ

$\epsilon$ ke

0

$0$ mungkin memerlukan lebih dari beberapa trik.

— T ....

Lihatlah kode Expander. Kode-kode ini mencapai waktu linear coding dan decoding. Linearitas disesuaikan dengan ukuran kata sandi. Tetapi saya tidak yakin apakah mereka dapat diterjemahkan menggunakan sirkuit linear.

— Vivek Bagaria

Anda harus melihat kode Tornado {1}, yang, untuk setiap dan dan cukup besar dapat dirancang untuk pulih (dengan probabilitas tinggi) dari kehilangan a fraksi bit dalam waktu sebanding dengan (lihat Teorema 1 dalam {1}). $R$ $\epsilon>0$ $n$ $(1-R)(1-\epsilon)$ $n \ln \frac{1}{\epsilon}$

{1} Luby, Michael G., et al. "Kode praktis tahan-rugi." Prosiding simposium ACM tahunan ke dua puluh sembilan tentang Teori komputasi. ACM, 1997: http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/losscodes.pdf

— Ari Trachtenberg
sumber