Jenis induktif untuk notasi ordinal yang dapat dihitung besar.


28

Saya mencari untuk membangun notasi untuk tata cara yang dapat dihitung besar dengan "cara alami". Dengan "cara alami" yang saya maksudkan bahwa dengan memberikan data induktif tipe X, bahwa kesetaraan harus menjadi persamaan rekursif biasa (sama dengan yang deriving Eqdi Haskell akan hasilkan) dan urutannya haruslah urutan leksikografis rekursif biasa (sama dengan yang deriving Orddi Haskell akan menghasilkan ), dan ada predikat yang dapat ditentukan yang menentukan apakah anggota X adalah notasi ordinal yang valid atau tidak.

Misalnya, tata cara yang kurang dari ε 0 dapat diwakili oleh daftar yang diurutkan secara turun temurun dan memenuhi persyaratan ini. Tentukan X menjadi μα. μβ. 1 + α × β, alias daftar terbatas herediter. Tentukan isValiduntuk memeriksa bahwa X diurutkan dan semua anggota X adalah isValid. Anggota X yang valid semuanya adalah ordinal yang kurang dari ε 0 di bawah urutan leksikografis yang biasa.

Saya menduga bahwa μα 0. … Μα n . 1 + α 0 × ... × α n dapat digunakan untuk mendefinisikan ordinals kurang dari φ n + 1 (0), di mana φ adalah fungsi Veblen, dengan cara yang sama.

Seperti yang Anda lihat saya kehabisan μ bilangan di φ ω (0). Bisakah saya membuat notasi ordinal yang lebih besar untuk memenuhi persyaratan saya? Saya berharap untuk mencapai Γ 0 . Bisakah saya mendapatkan ordinal yang lebih besar jika saya membatalkan persyaratan decidability berdasarkan predikat validitas saya?


1
Pernahkah Anda melihat Cantor di Coq contribs? coq.inria.fr/pylons/pylons/contribs/view/Cantor/v8.3 Tampaknya intuitif bagi saya bahwa bentuk normal Veblen adalah "alami" dalam cara yang Anda tentukan. Apakah bukan ini masalahnya?
jbapple

Apa yang teori katakan, seberapa jauh Anda bisa pergi dengan memiliki kesetaraan yang dapat ditentukan? Pada titik tertentu Anda harus menyerah pada decidability dan puas dengan semidecidability.
Andrej Bauer

Tipe yang menyandikan formulir Veblen memiliki urutan yang dapat ditentukan, tetapi saya tidak yakin apakah validitas dapat ditentukan. pemesanan ada comparedi coq.inria.fr/pylons/contribs/files/Cantor/v8.3/… Dalam file yang sama, ada Lemma nf_introyang mungkin mencirikan validitas.
jbapple

@ jbapple: ini sepertinya jawabannya, mungkin Anda harus mempostingnya sebagai jawaban.
Andrej Bauer

@ jbapple Inductive lt : T2 -> T2 -> Proptidak tampak seperti pemesanan leksikografis kepada saya.
Russell O'Connor

Jawaban:


Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.