Kelas-kelas apa dari program matematika yang dapat diselesaikan dengan tepat atau kira-kira, dalam waktu polinomial?


31

Saya agak bingung dengan literatur optimasi kontinu dan literatur TCS tentang jenis program matematika (MP) yang dapat diselesaikan secara efisien, dan yang tidak. Komunitas optimisasi berkelanjutan tampaknya mengklaim bahwa semua program cembung dapat diselesaikan secara efisien, tetapi saya yakin definisi "efisien" mereka tidak sesuai dengan definisi TCS.

Pertanyaan ini telah banyak mengganggu saya dalam beberapa tahun terakhir, dan sepertinya saya tidak dapat menemukan jawaban yang jelas untuk itu. Saya harap Anda dapat membantu saya menyelesaikan ini sekali dan untuk semua: Kelas anggota parlemen mana yang dapat diselesaikan secara tepat dalam waktu polinomial, dan dengan cara apa; dan apa yang diketahui tentang mendekati solusi optimal dari anggota parlemen yang tidak dapat kita selesaikan secara tepat dalam waktu polinomial?

Di bawah, saya memberikan jawaban yang tidak lengkap untuk pertanyaan ini yang juga mungkin salah di beberapa tempat, jadi saya harap Anda dapat memverifikasi dan memperbaiki saya pada titik-titik di mana saya salah. Itu juga menyatakan beberapa pertanyaan yang tidak bisa saya jawab.

Kita semua tahu bahwa pemrograman linier dapat diselesaikan tepat dalam waktu polinomial, dengan menjalankan metode ellipsoid atau metode titik interior, dan kemudian menjalankan beberapa prosedur pembulatan. Pemrograman linier bahkan dapat diselesaikan dalam waktu polinomial dalam jumlah variabel ketika menghadapi keluarga LP dengan jumlah super besar kendala linier, selama seseorang dapat memberikan "oracle pemisahan" untuk itu: sebuah algoritma yang, diberi titik , menentukan apakah titik tersebut layak atau mengeluarkan hyperplane yang memisahkan titik dari polihedron dari titik yang layak. Demikian pula, pemrograman linier dalam polinomial waktu dalam sejumlah kendala ketika menghadapi keluarga LP dengan jumlah variabel yang sangat besar, jika ada yang menyediakan algoritma pemisahan untuk dual dari LP ini.

Metode ellipsoid juga mampu menyelesaikan program kuadratik dalam waktu polinomial, jika matriks dalam fungsi objektifnya adalah positif (semi?). Saya menduga bahwa, dengan menggunakan trik oracle pemisahan, kita dalam beberapa kasus juga dapat melakukan ini jika kita berurusan dengan sejumlah kendala yang luar biasa. Benarkah?

Pemrograman semidefinite akhir-akhir ini (SDP) telah mendapatkan banyak popularitas di komunitas TCS. Seseorang dapat menyelesaikannya hingga presisi sewenang-wenang dengan menggunakan metode titik interior, atau metode ellipsoid. Saya pikir, SDPs tidak dapat diselesaikan dengan tepat karena masalah yang akar kuadratnya tidak dapat dihitung dengan tepat. (?) Apakah itu benar jika saya mengatakan ada FPTAS untuk SDP? Saya belum melihat yang dinyatakan di mana saja, jadi itu mungkin tidak benar. Tapi kenapa?

Kami dapat memecahkan piringan hitam dengan tepat dan SDP hingga presisi yang sewenang-wenang. Bagaimana dengan kelas program kerucut lainnya? Bisakah kita menyelesaikan program kerucut orde dua hingga presisi sewenang-wenang, menggunakan metode ellipsoid? Saya tidak tahu

Di kelas MP mana kita bisa menggunakan metode ellipsoid? Sifat-sifat apa yang perlu dipenuhi oleh seorang anggota parlemen seperti itu sehingga jawaban dapat diberikan hingga presisi yang sewenang-wenang, dan sifat-sifat tambahan apa yang kita butuhkan untuk dapat memperoleh solusi yang tepat dalam waktu polinomial? Pertanyaan yang sama untuk metode titik interior.

Oh, dan akhirnya, apa yang menyebabkan pengoptimal terus menerus mengatakan bahwa program cembung dapat diselesaikan secara efisien? Benarkah jawaban presisi sembarang untuk program cembung dapat ditemukan dalam waktu polinomial? Saya percaya tidak, jadi dalam aspek apa definisi mereka tentang "efisien" berbeda dari kita?

Setiap kontribusi dihargai! Terima kasih sebelumnya.


6
Judul pertanyaan ini terlalu luas; tampaknya apa yang Anda benar-benar ingin tahu adalah apakah program cembung benar-benar dapat diselesaikan dalam waktu polinomial.
Peter Shor

Diperbantukan. Bart, mungkin Anda dapat memecah hal-hal menjadi pertanyaan spesifik?
Suresh Venkat

Peter dan Suresh, terima kasih atas saran ini. Dari apa yang saya tulis seharusnya mengikuti bahwa saya tidak hanya tertarik pada pertanyaan apakah program cembung dapat diselesaikan atau diperkirakan dalam waktu-poli. Saya pada dasarnya tertarik pada batasan metode titik ellipsoid dan interior, dan saya berharap seseorang mengetahui dengan tepat kelas anggota parlemen mana mereka bekerja secara efisien. Saya bertanya ini karena tubuh literatur saat ini tidak jelas tentang ini (untuk saya).
Bart

Secara pribadi, saya pikir akan baik untuk memiliki gambaran yang bagus tentang ini di satu tempat (seperti sebagai jawaban untuk pertanyaan pertukaran stackex ini). Juga bagi saya ini sepertinya pertanyaan yang cukup masuk akal. Namun, karena saya baru di stackexchannge, saya tidak terbiasa dengan budaya dan etika di sini .. jadi jika Anda bersikeras, saya akan mencoba mencari cara untuk membagi pertanyaan ini menjadi beberapa pertanyaan kecil.
Bart

1
Saya pikir cakupan pertanyaan ini terlalu luas untuk dijawab. Batas-batas metode titik ellipsoid dan interior akan menjadi pertanyaan yang bagus, dan apa yang bisa dilakukan untuk program cembung adalah pertanyaan yang bagus, tetapi jika Anda tidak menentukan jenis algoritma atau jenis program, Anda pada dasarnya bertanya untuk ringkasan seluruh bidang pengoptimalan berkelanjutan dalam jawaban Anda, dan ini sangat mustahil. Itu bukan bidang kecil. Namun, jika Anda membiarkan pertanyaan seperti itu, sangat mungkin Anda akan mendapatkan jawaban parsial yang baik.
Peter Shor

Jawaban:


18

Saya dapat menjawab bagian ini:

Apakah itu benar jika saya mengatakan ada FPTAS untuk SDP? Saya belum melihat yang dinyatakan di mana saja, jadi itu mungkin tidak benar. Tapi kenapa?

Pernyataan itu benar, tetapi kita tidak sering melihatnya karena pernyataan yang lebih kuat berlaku dan lebih penting daripada pernyataan yang lebih lemah ini.

FPTAS adalah algoritma waktu polinomial yang, diberikan masalah dan parameter akurasi 1 k , menghasilkan solusi (1 + 1 / k ) yang sesuai.

Tetapi untuk SDP, metode ellipsoid dan metode interior-titik menyediakan algoritma polinomial-waktu yang, diberikan masalah dan parameter akurasi 1 k , menghasilkan solusi (1 + 2 - k ) -roksimasi. Perhatikan bahwa faktor perkiraan jauh lebih baik daripada yang dibutuhkan untuk FPTAS.


Ini membutuhkan perhatian lebih karena metode ellipsoid dan metode titik interior memerlukan kondisi tambahan untuk dijalankan dalam waktu polinomial.
Yoshio Okamoto

Terima kasih untuk ini, Tsuyoshi! Yoshio, bisakah kamu mengklarifikasi apa yang kamu maksud dengan ini? Apakah Anda benar-benar bermaksud bahwa ada kondisi pada SDP tertentu yang diperlukan, karena jika tidak, SDP tidak dapat diperkirakan seperti itu dalam waktu-poli? Ini adalah kejutan bagi saya dalam hal ini, dan saya akan tertarik mengetahui tentang kondisi ini. Terima kasih.
Bart

@Bart: Misalnya, jika Anda melihat catatan kuliah oleh Lovasz cs.elte.hu/~lovasz/semidef.ps , Anda dapat menemukan Teorema 3.7 (Halaman 19) berbicara tentang batasan waktu berjalan dari metode ellipsoid untuk meminimalkan cembung. . Di sana, beberapa asumsi teknis dikenakan.
Yoshio Okamoto

4
rRlogR/r

Terima kasih banyak untuk ini. Ini menjawab sebagian besar pertanyaan saya. Sepertinya pengetahuan ini bisa menjadi alat yang sangat berguna bagi para ilmuwan komputer teoretis, sementara menurut saya masih belum diketahui sama sekali, dan dinyatakan hampir tidak ada tempat. Aneh.
Bart

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.