Terima kasih, Kaveh, karena ingin melihat bab tentang kompleksitas bukti!
Mengenai pertanyaan Robin, pertama bahwa catatan mengandung fungsi yang membutuhkan rumus (dan bahkan sirkuit) ukuran n k untuk setiap konstanta k . Ini mengikuti, katakanlah, dari fakta sederhana bahwa A C 0 berisi semua DNF dengan monomial yang terus-menerus panjang. Dengan demikian, A C 0 berisi setidaknya exp ( n k ) fungsi yang berbeda, untuk setiap k . Di sisi lain, kita memiliki paling banyak tentang fungsi exp ( t log n ) yang dihitung dengan rumus ukuran tAC0 nkkAC0AC0exp(nk)kexp(tlogn)t.
Aku segera membahas masalah mendapatkan eksplisit batas bawah dari atau lebih besar dengan Igor Sergeev (dari universitas Moskow). Satu kemungkinan bisa menggunakan metode Andreev, tetapi diterapkan pada beberapa fungsi lain yang lebih mudah dihitung daripada Parity. Yaitu, pertimbangkan fungsi n variabel dari bentuk F ( X ) = f ( g ( X 1 ) , … , g ( X b ) ) di mana b = log n dan g adalah fungsi dalam An2nF(X)=f(g(X1),…,g(Xb))b=logng darivariabel n / b ; f adalah beberapa fungsi paling kompleks darivariabel b (hanya keberadaan f sudah cukup). Kita hanya perlu bahwa fungsi g tidak dapat "dibunuh" dalam pengertian berikut: jika kita memperbaiki semua kecualivariabel k dalam X , maka harus dimungkinkan untuk memperbaiki semua kecuali satu variabel tersisa dari g sehingga diperoleh subfungsi dari g adalah variabel tunggal. Kemudian menerapkan argumen Andreev dan menggunakan hasil Hastad yang menyusut konstan setidaknya 2 (tidak hanya 3 / 2AC0n/bfbfgkXgg23/2seperti yang ditunjukkan sebelumnya oleh Sybbotovskaya), batas bawah yang dihasilkan untuk adalah sekitar n 3 / k 2 . Tentu saja, kita tahu bahwa setiap fungsi di A C 0 dapat dibunuh dengan memperbaiki semua tapi n 1 / d variabel, untuk beberapa konstan d ≥ 2 . Tetapi untuk mendapatkan n 2 batas bawah itu akan cukup untuk menemukan fungsi eksplisit di A C 0 yang tidak dapat dibunuh dengan memperbaiki semua tapi, katakanlah, n 1 / 2F(X)n3/k2AC0 n1/dd≥2n2AC0n1/2variabel. Seseorang harus mencari fungsi semacam itu secara mendalam lebih besar dari dua.
Sebenarnya, untuk fungsi seperti di atas, seseorang dapat memperoleh batas bawah tentang n 2 / log n melalui argumen serakah yang sederhana, tanpa Nechiporuk, tanpa Subbotovskaya, dan tanpa batasan acak! Untuk ini, itu hanya cukup bahwa "fungsi dalam" g (Y) adalah non-sepele (tergantung pada semua variabel n / b ). Selain itu, terikat berlaku untuk setiap dasar gerbang fanin konstan, bukan hanya untuk formula De Morgan.F(X)n2/lognn/b
Bukti: Mengingat rumus untuk dengan s daun, pilih di setiap blok X i variabel yang muncul terkecil jumlah kali sebagai daun. Kemudian atur semua variabel yang tersisa ke konstanta yang sesuai sehingga setiap g ( X i ) berubah menjadi variabel atau negasinya. Rumus yang diperoleh kemudian akan setidaknya n / b kali lebih kecil dari rumus aslinya. Jadi, s setidaknya n / b = n / log nF(X)sXig(Xi)n/bsn/b=n/lognkali ukuran rumus dari f , yaitu, s ≥ n 2 - o ( 1 ) . QED2b/logb=n/loglognfs≥n2−o(1)
Untuk mendapatkan atau lebih, kita harus memasukkan efek menyusut Subbotovskaya-Hastad di bawah pembatasan acak. Calon yang mungkin adalah beberapa versi fungsi Sipser yang digunakan oleh Hastad untuk menunjukkan bahwa sirkuit kedalaman ( d + 1 ) lebih kuat daripada sirkuit dengan kedalaman d .n2(d+1)d