Seperti yang dicatat Hsieh, definisi konduktansi Anda tidak sesuai dengan yang saya tahu dengan faktor d , di mana d adalah derajat grafik reguler. Ini juga dikenal sebagai ekspansi tepi untuk grafik biasa.
Hubungan antara ekspansi tepi dan diameter cukup mudah ditunjukkan. Secara intuitif, expander adalah "seperti" grafik yang lengkap, sehingga semua simpul "dekat" satu sama lain. Secara lebih formal, mari
minS⊆ V e ( S, Sc)d⋅ min { | S| , | Sc| }≥ α
Ambil sembarang simpul dengan . Setidaknya adatepi yang keluar dari dan karena adalah teratur, lingkungan (termasuk itu sendiri) berukuran paling tidak. Menerapkan klaim ini secara induktif, mulai dari untuk setiap vertex , kita melihat bahwa untuk beberapa , 's -hop lingkungan memiliki ukuran setidaknya . Oleh karena itu, lingkungan -hop dari titik mana pun| S | ≤ | V | / 2 α d | S | S G d S S ( 1 + α ) | S | S = { u } u t = O ( log 1 + α | V | ) u t | V | / 2 t + 1 v t u | VS| S| ≤ | V| / 2α d| S|SGdSS( 1 + α ) | S|S= { u }kamut = O ( log1 + α| V| )ut|V|/2t+1v harus memotong lingkungan -hop , atau grafik akan memiliki lebih darisimpul, sebuah kontradiksi. Jadi kamu punyatu|V|
D=O(log|V|log(1+α))
Tentu saja, ini juga berarti bahwa memiliki batas bawah pada diameter menyiratkan batas atas pada ekspansi tepi.
Saya tidak berpikir diameter kecil menyiratkan konduktansi. Jika Anda tidak memaksa grafik biasa (dan menggunakan definisi Hsieh), maka dua grafik lengkap yang dihubungkan oleh satu sisi memberikan contoh berlawanan.