Masalah Kepuasan , tentu saja, masalah mendasar dalam CS teoritis. Saya bermain dengan satu versi masalah dengan banyak sekali variabel.
Pengaturan Dasar. Biarkan menjadi seperangkat variabel bebas dan mungkin tak terbatas . Literal adalah variabel atau negasi . Klausa adalah disjungsi dari jumlah literal yang terbatas . Akhirnya, kami mendefinisikan rumus sebagai satu set klausa .
Tugas adalah fungsi . Saya tidak akan secara eksplisit menentukan kondisi saat suatu penugasan memenuhi klausa; itu sedikit rumit, dan sama seperti pada SAT standar. Akhirnya, sebuah tugas memenuhi formula jika memenuhi setiap klausa konstituen. Biarkan menjadi himpunan tugas yang memuaskan untuk , dan biarkan menjadi pelengkap .
Ruang topologi.
Tujuan kami adalah untuk memberikan ruang pada semua penugasan , sebut ini , dengan struktur topologi . Set tertutup kami adalah dari bentuk mana adalah rumus. Kami dapat memverifikasi bahwa ini memang topologi:
- Formula kosong yang tidak mengandung klausa dipenuhi oleh semua tugas; jadi ditutup.
- Rumus untuk setiap adalah sebuah kontradiksi. Jadi ditutup.
- Penutupan di bawah persimpangan sewenang-wenang. Misalkan adalah formula untuk setiap . Kemudian .
- Penutupan di bawah serikat terbatas. Misalkan dan adalah dua rumus, dan tentukan
Kemudian . Ini membutuhkan argumen, tapi saya akan melewatkan ini.
Sebutkan topologi ini , "topologi kepuasan" (!) Di . Tentu saja, set terbuka topologi ini adalah dalam bentuk . Selain itu, saya mengamati bahwa koleksi set terbuka
Kompak? Saya merasa ini cara yang menarik, jika tidak terlalu berguna, untuk melihat sesuatu. Saya ingin memahami apakah ruang topologi ini memiliki sifat menarik tradisional seperti kekompakan, keterhubungan dll. Dalam posting ini, kita akan membatasi diri kita pada kekompakan:
Biarkan menjadi kumpulan variabel yang tak terhingga jumlahnya. 1 Apakah ringkas di bawah ?Σ T
Seseorang dapat membuktikan hal berikut
Dalil. kompak jika dan hanya untuk semua formula unsatisfiable , terdapat subformula terbatas unsatisfiable . F { c 1 , c 2 , … , c m } ⊆ F
(Latihan yang tidak terlalu sulit!) Setelah beberapa hari berpikir, saya tidak memiliki banyak kemajuan dalam menjawab pertanyaan ini. Saya juga tidak memiliki bukti kuat untuk atau menentang kekompakan. Bisakah Anda menyarankan beberapa pendekatan?
Akhirnya, sebagai pertanyaan bonus:
Apakah struktur seperti itu telah dipelajari sebelumnya?
1 Pembatasan untuk menghitung hanya untuk kesederhanaan; itu juga terasa seperti langkah alami berikutnya dari jumlah variabel terbatas.