Bisakah catur mensimulasikan Mesin Universal Turing?

Saya mencari jawaban pasti untuk pertanyaan judul.

Apakah ada seperangkat aturan yang menerjemahkan program apa pun ke dalam konfigurasi potongan terbatas di papan infinite, sehingga jika hitam dan putih hanya memainkan gerakan hukum, permainan berakhir pada waktu terbatas jika program berhenti?

Aturannya sama dengan catur biasa minus 50 aturan gerak, pertukaran, dan kasting.

Dan berapa jumlah minimum dari berbagai jenis keping (yaitu gim paling sederhana) yang diperlukan untuk gim seperti catur agar bisa menyelesaikan-turing? (Setiap jenis karya memiliki satu set gerakan yang diizinkan yang tidak berubah di bawah terjemahan).

Apakah ada bagian yang bisa kita tambahkan ke game untuk membuktikannya selesai?

— TROLLHUNTER
sumber

Pertanyaan ini juga diposting di math.SE , silakan baca faq tentang cross-postingan.

— Gopi

Anda baru saja memposting ini di math.SE dan sudah menerima pointer bermanfaat ke tautan MO, serta jawaban. Jika ini ternyata tidak sesuai, Anda dapat melakukan crosspost di sini, tetapi secara umum kami lebih memilih untuk tidak melakukan crossposting secara bersamaan karena hal itu menyebabkan fraktur dan pengulangan diskusi. Saya akan menutup sekarang, tetapi Anda dapat menandainya untuk dibuka kembali jika Anda tidak menerima jawaban yang memuaskan di tempat lain (abaikan "alasan untuk menutup" - kami hanya memiliki beberapa pilihan)

— Suresh Venkat

Tampaknya sangat tidak mungkin, karena catur hanya memiliki sejumlah keping dalam permainan apa pun, dan mesin Turing universal memiliki jumlah bit yang tidak terbatas. Namun, ini bukan bukti.

— Peter Shor

@ Payayfun Bayar: Anda sedang "memecahkan" masalah yang berbeda. Versi catur EXP-C memiliki bagian-bagian tertentu yang ditetapkan pada papan, tergantung pada nilai lebar papan

. Jumlah benteng, dll, tumbuh sebagai sebagian kecil dari

. Pertanyaan yang diajukan di sini adalah (a) papan tak terbatas, dan (b) sejumlah bagian, dalam proporsi apa pun satu sama lain.

n

$n$

n

$n$

— Aaron Sterling

@ JE: Penanya menegaskan bahwa jawaban di situs lain tidak memuaskan, jadi saya membuka kembali.

— Suresh Venkat

Jawaban:

Saya juga berpikir bahwa pertanyaan yang sangat mirip telah ditanyakan sebelumnya, saya pikir pertama di sini: /mathpro/27967/decidability-of-chess-on-an-infinite-board/63684 Berikut adalah saya diperbarui dan opini yang dimodifikasi.

Saya pikir masalahnya belum diselesaikan sepenuhnya, tetapi jawabannya hampir pasti ya. Saya tidak punya bukti untuk catur, karena saya tidak memiliki kemampuan untuk merancang konfigurasi tertentu, tetapi saya pikir mereka harus ada. Dan bahkan jika mereka tidak melakukannya, untuk beberapa permainan seperti catur mereka pasti melakukan yang menunjukkan bahwa upaya untuk membuktikan kepatutan harus salah. Kemudian saya menyadari bahwa ada argumen yang sangat mirip dengan saya di sini: http://www.redhotpawn.com/board/showthread.php?threadid=90513&page=1#post_1708006 tetapi bukti saya menunjukkan bahwa sebenarnya dua penghitung sudah cukup dan mungkin punyaku lebih detail.

Pengurangan bergantung pada gagasan mesin stack. Mesin tumpukan dengan hanya dua tumpukan menggunakan tumpukan alfabet hanya satu huruf dapat mensimulasikan mesin Turing. (Beberapa orang akan menyebutnya robot yang terbatas deterministik ini dengan dua counter.) Jadi tujuan kami adalah untuk mensimulasikan setiap mesin tersebut dengan posisi catur. Saya bisa melihat dua cara untuk ini.

i, Bangun dua konfigurasi terpisah, sehingga keduanya memiliki bagian awal dan bagian bergerak yang dapat berubah (untuk menyimpan keadaan). Juga, bagian yang bergerak akan dihubungkan, misalnya. oleh benteng, yang bisa sekakmat, jika dilepaskan, jadi ini adalah mengapa jika satu negara bergerak 1, yang lain harus bergerak k, dan seterusnya.

ii, Membangun satu konfigurasi, yang tergantung pada kondisinya, bergerak l secara horizontal dan -k secara vertikal. Juga, tempatkan benteng di (0,0) yang tidak akan pernah bergerak tetapi bisa menjamin bahwa konfigurasi dapat "merasakan" ketika kembali ke penghitung kosong.

Jadi yang tersisa untuk dilakukan adalah merancang konfigurasi seperti itu, yang saya kira harus dimungkinkan dengan sedikit usaha dan pengetahuan catur. Juga, perhatikan bahwa dalam kedua kasus konstruksi menggunakan sepotong yang rentang tidak dibatasi, saya bertanya-tanya apakah ini benar-benar diperlukan. Sebagai langkah pertama, saya mengusulkan untuk memberikan posisi yang setara dengan dugaan Collatz: /mathpro/64966/is-there-a-chess-position-equivalent-to-the-collatz-conjecture

— domotorp
sumber

Kemarin saya googled sekitar untuk memeriksa status masalah ini dan saya menemukan hasil baru (2012) ini:

Dan Brumleve, Joel David Hamkins dan Philipp Schlicht, Masalah mate-in-n catur tak terbatas dapat ditentukan (2012)

Jadi masalah mate-in-n catur tidak terbatas tidak bisa diselesaikan Turing.

Desidabilitas catur tanpa batas tanpa batasan jumlah gerakan untuk pasangan tampaknya masih terbuka.

— Marzio De Biasi
sumber

Bagusnya pernyataan itu tidak terlalu mengejutkan.

— domotorp

@domotorp: Saya setuju :(, tetapi buktinya (menggunakan struktur orde pertama yang dapat ditentukan dalam aritmatika Presburger yang dapat ditentukan) rapi.

— Marzio De Biasi

@domotorp: ... Saya mencoba memahami bagian ini: "... Kami sekarang berpendapat bahwa kumpulan urutan string yang timbul dari posisi adalah biasa, dengan mengenali dengan mesin Turing multi-tape baca-saja bahwa mereka patuhi persyaratan yang diperlukan ... <requirements> ... dan tidak ada dua potongan live yang menempati kotak yang sama ... ". 99,99% Saya salah menafsirkannya, tetapi saya tidak melihat bagaimana string biasa dapat menanamkan informasi bahwa dua potong berada di kotak yang berbeda ...

— Marzio De Biasi

jadi saya tidak begitu akrab dengan topik ini tetapi bukankah hal itu mereka memiliki multi-tape T-machine? Tampaknya mereka memiliki setiap string pada pita yang terpisah dan kemudian mudah untuk memeriksa. Saya kira memiliki dua kaset dengan string yang disisipkan akan sama baiknya, jika kita menginginkan jumlah kaset yang dibatasi.

— domotorp