Argumen untuk keberadaan fungsi satu arah

25

Saya telah membaca di beberapa makalah bahwa keberadaan fungsi satu arah diyakini secara luas. Adakah yang bisa menjelaskan mengapa ini terjadi? Argumen apa yang kita miliki untuk mendukung keberadaan fungsi satu arah?

— Anonim
sumber

1

Saya merasa agak menyesatkan bahwa banyak makalah menyatakan bahwa keberadaan fungsi satu arah secara luas diyakini karena sejauh ini kami tidak memiliki argumen yang kuat untuk keberadaan mereka. Menulis "keberadaan fungsi satu arah diterima secara luas sebagai asumsi yang masuk akal di antara para ahli yang konsisten dengan pengalaman kami dalam praktik dan keadaan pengetahuan saat ini" lebih tepat dan adil.

22

Berikut adalah argumen bahwa fungsi satu arah harus sulit dibalik. Misalkan ada kelas masalah 3-SAT dengan solusi yang ditanam yang sulit untuk dipecahkan. Pertimbangkan peta berikut:

(x, r) \to s

$(x, r) \rightarrow s$

di mana adalah setiap string bit, adalah string bit (Anda bisa menggunakannya untuk menabur generator angka acak, atau Anda dapat meminta sebanyak bit acak yang Anda butuhkan) dan adalah masalah -SAT dengan sebagai solusi yang ditanam, di mana generator angka acak menentukan dengan tepat masalah -SAT yang Anda pilih. Untuk membalikkan fungsi satu arah ini, Anda perlu menyelesaikan masalah -SAT dengan solusi yang ditanam. $x$ $r$ $s$ $k$ $x$ $k$ $k$

Argumen ini menunjukkan bahwa membalik fungsi satu arah sama sulitnya dengan memecahkan masalah -SAT dengan solusi yang ditanam. Dan karena -SAT adalah masalah NP-complete, jika Anda bisa mencari cara untuk membangun instances keras dengan solusi yang ditanam untuk setiap masalah NP, Anda dapat menanam solusi dalam formula -SAT. $k$ $k$ $k$

Belum terbukti bahwa mungkin untuk menemukan kelas masalah NP-lengkap dengan solusi yang ditanam yang sama sulitnya dengan masalah NP-lengkap sewenang-wenang (dan bahkan jika ini benar, itu akan sangat sulit untuk dibuktikan) , tapi orang pasti tahu cara menanam solusi dalam masalah -SAT dengan cara yang saat ini tidak ada yang tahu bagaimana menyelesaikannya. $k$

TAMBAH: Saya sekarang menyadari bahwa koneksi ini sudah diberikan (lebih terinci) di Abadi, Allender, Broder, Feigenbaum, dan Hemachandra ; mereka menunjukkan bahwa fungsi satu arah dapat memberikan contoh keras SAT yang dipecahkan, dan sebaliknya.

Menempatkannya dalam bahasa yang lebih informal, tidak adanya fungsi satu arah menunjukkan bahwa teka-teki yang benar-benar keras tidak dapat ada. Jika ada jenis puzzle di mana seseorang dapat membuat puzzle dan solusinya secara algoritmik, maka ada juga algoritma waktu polinomial untuk menemukan solusi bagi puzzle tersebut. Ini tampaknya sangat kontra-intuitif bagi saya. Tentu saja, celah polinom bisa ada; mungkin itu terjadi bahwa jika membuat puzzle mengambil langkah , maka memecahkannya mungkin mengambil langkah . Namun, intuisi saya mengatakan bahwa harus ada kesenjangan superpolinomial. $n$ $O(n^3)$

— Peter Shor
sumber

1

Bukankah ini pada akhirnya sama dengan argumen Sadeq, dalam arti bahwa keduanya bergantung pada beberapa masalah yang saat ini tidak ada yang tahu bagaimana menyelesaikannya walaupun ada banyak upaya?

— Tsuyoshi Ito

2

@ Sadeq: Anda dapat memberikan algoritma pada dasarnya semua bit acak yang Anda butuhkan untuk argumen ini; Anda tidak benar-benar membutuhkan PRG, dan tentu saja bukan PRG yang kuat.

— Peter Shor

6

@ Tsuyoshi: Saya pikir menghasilkan hard case masalah NP dengan solusi yang ditanam agak lebih umum daripada memfaktorkan atau log diskrit; untuk satu hal, itu tidak diketahui berada di BQP.

— Peter Shor 6/11

3

@ Tsuyoshi: Saya akan senang melihat pendekatan yang berbeda; sayangnya, saya tidak punya. Tapi apa artinya ini adalah bahwa teka-teki yang benar-benar sulit tidak bisa ada; jika ada jenis puzzle di mana seseorang dapat menemukan puzzle dan solusinya secara algoritmik, ada juga algoritma waktu polinomial untuk memecahkan puzzle. Ini tampaknya sangat kontra-intuitif bagi saya.

— Peter Shor

4

@ Tsuyoshi: Saya pikir maksud Peter adalah tidak hanya ada dua atau tiga kandidat untuk OWF; kandidat sangat berlimpah dan hampir sepele untuk datang. Sebagai contoh jika Anda melihat pekerjaan seputar kompetisi SHA-3 NIST, tampaknya menjadi "mudah" untuk membangun OWF, dan orang-orang kebanyakan peduli dengan merancang OWF super cepat yang masih memenuhi gagasan keamanan yang sangat ketat.

— Timothy Chow

13

Saya akan memberikan jawaban singkat: Adanya masalah yang tampaknya sulit, seperti FAKTOR atau LOG DISKRET membuat ahli teori percaya bahwa OWF ada. Secara khusus, mereka mencoba selama beberapa dekade (sejak 1970-an) untuk menemukan algoritma (waktu polinomial-waktu) yang efisien untuk masalah-masalah seperti itu, tetapi tidak ada upaya yang berhasil. Alasan ini sangat mirip dengan mengapa kebanyakan peneliti percaya bahwa P ≠ NP.

— MS Dousti
sumber

Apa yang saya tidak suka tentang kepercayaan itu adalah bahwa kedua masalah ada di BQP, jadi jika mereka memang satu arah dan komputer kuantum menjadi praktis, maka definisi fungsi satu arah harus diubah (untuk menolak kebijakan kuantum musuh -waktu, bukan hanya secara acak). Apakah Anda tahu ada kandidat untuk fungsi satu arah yang kuat dalam arti itu? Apakah ada kandidat dari jenis fungsi satu arah yang kuat yang menganggap Razborov-Rudich dalam teorema mereka?

— Diego de Estrada

1

Jawaban untuk pertanyaan pertama saya: dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2007.03.013

— Diego de Estrada

3

Yaitu kita tidak punya argumen untuk ini selain itu belum ada yang memecahkan masalah ini. Itu adalah argumen yang sangat minggu. Sejalan dengan itu, kita akan percaya pada kekerasan apa pun yang belum kita selesaikan. Kita dapat mengatakan bahwa banyak yang percaya bahwa anjak piutang tidak ada dalam tetapi saya belum melihat ada yang mengklaim. Pasti ada alasan lain untuk meyakini keberadaan OWF secara luas. Perbandingan dengan P vs NP tidak adil. Ada banyak masalah NP-complete setara alami.

D T I M E (\exp (n^{1 / 4}))

$DTIME(\exp(n^{1/4}))$

— Anonim

10

Harus ada argumen yang lebih baik untuk mengapa fungsi satu arah ada daripada kita tahu banyak fungsi yang kita belum tahu bagaimana membalikkannya. Saya akan melihat apakah saya bisa membuat satu.

— Peter Shor 6/11

1

@Anonim: re: "yakini secara luas bahwa anjak piutang tidak ada dalam " Anda mungkin memeriksa peningkatan terbaru dalam log diskret: eprint.iacr.org/2013/400 (mengikuti eprint.iacr.org/2013/095 ).

D T I M E (e x p (n^{1 / 4}))

$DTIME(exp(n^{1/4}))$

— Joshua Grochow

-5

Argumen Sasho bergantung pada masalah P = NP abadi yang saat ini tidak ada konsensus.

Namun, jika kita mengikuti kriptanalisis C. Shannon dari pad sekali pakai, dideklasifikasi pada tahun 1947, yaitu: tidak ada algoritma enkripsi yang aman secara matematis selain pad sekali pakai. Argumennya didasarkan pada gagasan bahwa, jika kita memiliki urutan angka yang benar-benar acak dan untuk beberapa urutan untuk mengenkripsi, , kami mengenkripsi sebagai berikut : $r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n$ $s_1,s_2,s_3,\ldots,s_n$

$f(r_i,s_i) = r_i \oplus s_i = c_i$

Jika urutannya benar-benar acak, kami akan mencoba untuk menghitung dan hasilnya kemudian adalah bahwa semua urutan dapat dilengkapi. $f^{-1}(r_i,s_i)$

Kita bisa meniru hasil Shannon untuk fungsi satu arah.

Fungsinya adalah peta dan kebalikannya fungsi adalah peta . $f:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $f:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Tangkapannya adalah bahwa kita tidak tahu apakah ada angka yang benar-benar acak karena pertanyaannya setara dengan komentar Einstein tentang "Tuhan tidak memainkan dadu".

Namun, untuk semua tujuan, generator bilangan acak berdasarkan proses fisik dianggap cukup acak oleh para ahli.

Ini mengatakan, saat kita mencoba untuk membalikkan , yaitu, angka acak tidak lagi rahasia, pembalikan itu sepele. $(c_i,r_i)$

Selain itu, fungsi satu arah ini tidak memiliki sifat yang bagus dari fungsi hashing yang paling aman secara kriptografis seperti resistensi tabrakan. Selain itu, kami memiliki situasi yang . Ini berarti bahwa nilai yang sama mendapat hash ke dua nilai yang berbeda. Dan adalah hal biasa. $f(r_i,s_k)\neq f(r_j,s_k)$ $s_k$ $f(r_i,s_i) = f(r_j,s_j)$

— mathersjj1
sumber

5

Hasil Shannon adalah tentang keamanan teori informasi (di mana musuh memiliki kekuatan komputasi yang tidak terbatas). Bukan itu pertanyaannya. Pertanyaannya adalah bertanya tentang fungsi satu arah dengan keamanan komputasi (di mana musuh terbatas pada perhitungan waktu polinomial). Akibatnya, argumen gaya Shannon tidak mengatakan apa-apa tentang apakah ada fungsi satu arah yang aman secara komputasi.

— DW

Baca definisi fungsi satu arah .

— Kaveh

Ker-I Ko mendefinisikan fungsi satu arah sehubungan dengan masalah P = NP dan isomorfisma polinomial. Lebih khusus lagi, jika fungsi satu arah ada, maka dugaan Cook tentang kelengkapan NP, yaitu isomorfisme antara set NP-lengkap, tidak berlaku. Minat menempatkan hal-hal dari perspektif entropi informasi adalah untuk menunjukkan bahwa kelas isomorfisme dari fungsi-fungsi yang dapat didefinisikan secara matematis hanya aman (tidak dapat dibalikkan) jika himpunan acak dapat didefinisikan. Saya tidak yakin dengan masukan Shannon tentang kepraktisan dan penggunaan ungkapan "aman secara matematis".

— mathersjj1

2

cstheory bukan forum diskusi atau blog pribadi, ini adalah situs tanya jawab. Posting Anda bukan jawaban untuk pertanyaan yang diajukan tentang fungsi satu arah (sebagaimana didefinisikan dalam tautan). Periksa tur dan pusat bantuan untuk penjelasan tentang ruang lingkup cerita.

— Kaveh

-6

Apakah semudah menyarankan misalnya fungsi Sine?

Karena untuk input dan output yang diberikan input dapat ditingkatkan atau diturunkan 360 derajat (atau 2 pi jika Anda ke radian) itu banyak-ke-satu, jadi Anda tidak pernah bisa yakin input mana yang Anda miliki?

Katakan padaku jika aku salah paham pertanyaannya.

— Aaron Robson
sumber

4

Periksa definisi .

— Kaveh

3

Anda sedang mencampur dua konsep: Fungsi satu arah, dan fungsi tidak dapat dibalikkan. Meskipun fungsi Sine tidak dapat di-uninvertible, itu bukan satu arah. Secara khusus, Anda selalu dapat datang dengan sebuah preimage (untuk presisi apa pun yang Anda suka), bahkan jika tidak yang preimage.

— MS Dousti

Begitu ya, terima kasih sudah menjelaskan perbedaannya.

— Aaron Robson