Anak di bawah umur dilarang untuk grafik genus terbatas

Hal ini juga diketahui bahwa dan dilarang anak di bawah umur untuk grafik planar. Ada ratusan anak di bawah umur yang terlarang untuk grafik yang dapat disematkan pada torus. Jumlah anak di bawah umur yang terlarang untuk grafik yang dapat disematkan pada permukaan genus g adalah fungsi eksponensial dari g . Pertanyaan saya adalah sebagai berikut: $K_5$ $K_{3,3}$

Apakah ada grafik eksplisit pada t simpul (yang bukan merupakan graf lengkap) sehingga adalah minor dilarang untuk grafik disematkan di permukaan genus g , di mana t adalah fungsi dari g ? $G_t$ $G_t$

EDIT: Saya menyadari bahwa teorema berikut diketahui:

Untuk setiap permukaan Σ ada bilangan bulat r sehingga tidak menanamkan dalam Σ. $K_{3,r}$

Jadi, saya mencari yang tidak graf lengkap, bukan graf bipartit lengkap. $G_t$

— Siwa Kintali
sumber

Jadi, Anda ingin keluarga grafik yang dibangun dengan parameter, tak terbatas, dan tak terbatas (selain grafik lengkap) yang dilarang di bawah umur untuk permukaan setiap genus?

— Derrick Stolee

@Kerekan. Iya. Tepat.

— Shiva Kintali

Lalu saya akan mengulangi pertanyaan dengan menggunakan istilah-istilah itu: "Apakah ada keluarga (sederhana untuk membangun) grafik

sehingga

adalah minor terlarang minimal untuk grafik yang dapat disematkan pada permukaan genus

? "

{H_{g} : g \geq 1}

$\{ H_g : g \geq 1\}$

H_{g} ≇ K_{n}

$H_g \not\cong K_n$

g

$g$

— Derrick Stolee

Batasan "

dan

bukan anak di bawah umur

" tidak seperti yang Anda inginkan. Jika mereka bukan anak-anak dari

, maka

adalah planar, dan tidak bisa menjadi anak terlarang untuk genus yang lebih tinggi.

K_{5}

$K_5$

K_{3, 3}

$K_{3,3}$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— David Eppstein

@ David Eppstein saya menghapus modifikasi saya. Pada dasarnya, saya mencari penghalang yang "berbeda" dari

dan

K_{5}

$K_5$

K_{33}

$K_{33}$

— Shiva Kintali

Penyatuan terpisah salinan (atau ) adalah minor terlarang minimal untuk grafik genus $n$ $K_5$ $K_{3,3}$ ; yang sama berlaku untuk grafik di mana beberapa salinan ini berbagi titik tunggal, sehingga blok dari grafik yang atau . Ini mengikuti dari hasil dalam J. Battle, F. Harary, Y. Kodama dan JWT Youngs, "Additivity of the genus of a graph",Bull. Amer. Matematika Soc. 68 (1962) 565-568, dan sudah cukup untuk menunjukkan bahwa setidaknya ada eksponensial banyak anak di bawah umur dilarang. $n-1$ $K_5$ $K_{3,3}$

Bojan Mohar, "Sebuah halangan untuk menanamkan grafik di permukaan", Discrete Math. 78 (1989) 135-142, daftar grafik yang terbentuk dari dengan menghapus 4-siklus sebagai memiliki genus 2. Sejak adalah toroidal, ini berarti bahwa baik atau salah satu dari subgraphs yang mencakup adalah obstruksi untuk menyematkan torus, dan grafik yang memiliki salinan grafik ini sebagai blok mereka memiliki genus . $K_8$ $K_7$ $K_8\setminus C_4$ $n$ $2n$

Mohar juga menunjukkan bahwa grafik yang terbentuk dari siklus -dengan menghubungkan simpul 0 ke semua simpul genap dan simpul 1 ke semua simpul aneh memiliki "genus relatif" setidaknya . Grafiknya adalah planar, tetapi saya pikir genus relatif berarti bahwa siklus harus berupa wajah; atau Anda bisa menambahkan simpul lain ke grafik, terhubung ke semua simpul siklus, untuk secara efektif memaksanya menjadi wajah. Mungkin ini lebih dekat dengan hal yang Anda inginkan. Tapi saya tidak berpikir dia menunjukkan bahwa grafik ini adalah anak di bawah umur minimal terlarang. $(2k+2)$ $\lceil k/2\rceil$

— David Eppstein
sumber

(2 k + 2)

$(2k+2)$