Pencocokan sempurna di papan catur?

Pertimbangkan masalah menemukan jumlah maksimum ksatria yang dapat ditempatkan di papan catur tanpa dua dari mereka saling serang. Jawabannya adalah 32: tidak terlalu sulit untuk menemukan pencocokan sempurna (grafik yang disebabkan oleh gerakan ksatria adalah bipartit, dan ada pencocokan sempurna untuk papan 4 × 4), yang jelas merupakan penutup tepi minimum. Juga tidak sulit untuk membuktikan bahwa jawabannya adalah untuk papan catur setiap kali : cukup untuk menunjukkan kecocokan untuk dan lakukan sedikit gerak kaki induksi.$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m \times n$$m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

Di sisi lain, jika papan caturnya berbentuk toroid dan genap, buktinya bahkan tidak perlu menunjukkan kecocokan untuk papan kecil: peta memiliki hanya siklus yang panjang sehingga harus ada kecocokan yang sempurna.$m, n$$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$

Apakah ada yang setara untuk papan catur persegi panjang , yaitu apakah ada cara yang lebih sederhana untuk menunjukkan bahwa untuk papan yang cukup besar selalu ada pasangan papan catur yang cocok? Untuk papan besar, papan persegi panjang dan papan toroidal hampir setara dalam arti bahwa fraksi tepi yang hilang menjadi nol, tapi saya tidak mengetahui adanya hasil teoritis yang akan menjamin kecocokan sempurna dalam kasus itu.$m, n$

Bagaimana jika, alih-alih melompat di kedua arah, seorang ksatria melompat kuadrat di kedua arah? Atau, dalam hal ini, kotak, dengan aneh dan coprime? Jika ada adalah cara sederhana untuk membuktikan bahwa jawabannya adalah untuk cukup besar (katakanlah, ), seperti apa bentuk ?$(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

Jawabannya BUKAN untuk semuambesar,njika mis.P=6danq=3. Mengapa? Perhatikan itu karena sisanya$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ sekarang grafik adalah persatuan terpisahkan (vertex) dari tiga grafik bipartit dan dari masing-masing kita dapat memilih setengah yang lebih besar. Sebagai contoh jika m = n = 100 , maka dengan cara ini kita dapat menempatkan (setidaknya) 5002 ksatria. (Ini karena x + $\mod 3$$m=n=100$ memiliki enam kelas yang dalam tiga pasangan, perbedaan antara kardinalitas pasangan adalah 1 , 1 , 2. )$x+y \mod 6$$1,1,2$

Saya tidak tahu apa yang terjadi jika kita menambahkan kondisi bahwa dan q adalah bilangan prima relatif. (Perhatikan bahwa selain dari 2 pembagi ini sama dengan p + q dan p - q sebagai bilangan prima relatif, pada kenyataannya ini adalah kondisi yang kita butuhkan dan yang juga menunjukkan bahwa p + q menjadi ganjil diperlukan.)$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$