Pertumbuhan stokastik dalam waktu terus menerus

Sastra: Lihat Chang (1988) untuk bagian teoretis dan Achdou et al. (2015) untuk bagian numerik masing-masing.

Model

Pertimbangkan masalah pertumbuhan optimal stokastik berikut dalam notasi per kapita. semua yang standar kecuali untuk yang merupakan peningkatan proses Wiener standar, yaitu . Laju pertumbuhan penduduk memiliki rata-rata dan varians .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Solusi Analitik

Kami menganggap teknologi Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

dan utilitas CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Atur Hamilton-Jacobi Persamaan -Bellman (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

Kondisi urutan pertama (FOC) bertuliskan

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ mana

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ menunjukkan fungsi kebijakan.

Ganti FOC menjadi HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Kami menduga bentuk fungsional dengan ( Posch (2009, mis. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

di mana adalah beberapa konstan. Turunan urutan pertama dan kedua dari diberikan oleh $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

HJB-e kemudian membaca

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

HJB-e yang dimaksimalkan benar jika kondisi berikut ini menahan

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Ganti ke dalam yang akhirnya memberikan fungsi nilai sebenarnya $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Kenapa tidak bergantung pada ? $v$ $\sigma$

Jadi fungsi nilai deterministik dan stokastik harus sama. Fungsi kebijakan kemudian siap diberikan oleh (gunakan FOC dan turunan dari fungsi nilai)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Perhatikan bahwa fungsi ini tidak bergantung pada juga. $\sigma$

Perkiraan Angka

Saya memecahkan HJB-e dengan skema melawan angin. Toleransi kesalahan . Pada gambar di bawah ini saya memplot fungsi kebijakan untuk berbagai . Untuk saya sampai pada solusi yang benar (ungu). Tetapi untuk fungsi kebijakan yang diperkirakan menyimpang dari yang sebenarnya. Yang tidak seharusnya demikian, karena tidak bergantung pada , kan? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Adakah yang bisa mengkonfirmasi bahwa fungsi kebijakan yang diperkirakan harus sama untuk sembarang , karena yang sebenarnya tidak tergantung pada ? $\sigma$ $\sigma$

— tidak mengerti
sumber

Apa yang mengganggu saya di sini adalah kondisi "iff" pertama setelah Anda menulis "HJB-e yang dimaksimalkan benar jika kondisi berikut berlaku": ini adalah hubungan kesetaraan yang sangat spesifik yang harus dipegang di antara semua parameter model - parameter preferensi, pertumbuhan populasi, produktivitas modal, dan volatilitas. Saya bertanya-tanya: dapatkah kita benar-benar bekerja dengan fungsi dugaan yang validitasnya bergantung pada kondisi yang sangat sempit pada parameter?

— Alecos Papadopoulos

Nah, di sini saya benar-benar memperbaiki sebagai fungsi dari empat parameter yang tersisa. Jadi persamaan selalu benar jika di samping itu, berlaku. Saya bertanya-tanya: apakah ada aturan ketika menebak fungsi tidak diizinkan? Maksud saya, kami tertarik untuk menemukan solusi yang benar dan dalam beberapa kondisi tertentu kami mendapatkan solusi yang benar. Saya tidak yakin apa yang mengganggu Anda di sini dari sudut pandang teoretis? Tentu, ini mungkin membatasi pekerjaan empiris, tetapi bukan itu intinya di sini. Kami agak tertarik untuk menyelesaikan HJBe dan itu bisa dilakukan. If an empiricist (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— clueless

memperkirakan dan kami menemukan bahwa kondisi dilanggar, maka kami dapat menolak model. Namun, solusinya tetap benar secara prinsip. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— tidak tahu apa

Kekhawatiran saya bukan tentang validitas empiris. Yang saya heran adalah, sejauh mana tebakan spesifik tentang bentuk fungsional dari fungsi nilai tergantung pada hubungan antara parameter. Tanpa mengacu pada data empiris, jika kita mengasumsikan bahwa relasi tidak berlaku, lalu bagaimana? Haruskah kita menebak fungsi nilai yang bahkan tidak eksponensial dalam , atau apakah cukup untuk menjaga struktur eksponensial tetapi mencoba berbagai cara untuk memasukkan parameter di dalamnya? (

k

$k$

— Ngomong

Apakah Anda yakin masalah optimisasi dinyatakan dengan benar? Tidak ada, misalnya, harapan dioperasikan pada katakanlah, ? Seperti yang dinyatakan sekarang, dan karena itu kemungkinan mengasumsikan nilai apa pun yang diberikan proses Wiener .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

Lebih banyak komentar:

Seharusnya ada operator ekspektasi dalam pernyataan masalah, jika tidak masalahnya tidak masuk akal.

Bahwa "... fungsi nilai deterministik dan stokastik harus sama ..." tidak tepat. Nilai sangat penting dalam pembatasan $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Jika , maka agaknya untuk dan masuk akal secara ekonomi , dalam hal ini masalah deterministik mungkin keliru. Apa yang benar adalah bahwa fungsi nilai stokastik mengambil bentuk yang diberikan hanya jika pembatasan parameter berlaku. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Memperhitungkan istilah Ito dari sisi kanan $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

pembatasan dapat ditulis sebagai

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

Di sisi kanan, kami memiliki elastisitas istilah substitusi antarwaktu dan istilah penolakan risiko . Apa yang dikatakan pembatasan adalah bahwa, dengan pilihan tertentu dari , mereka mengimbangi satu sama lain, hingga preferensi waktu dan drift . Oleh karena itu fungsi nilai tidak tergantung pada . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Bahwa fungsi nilai independen dari adalah artefak dari pembatasan, dan pilihan CRRA . Tidak benar secara umum. $\sigma$ $u$

— Michael
sumber