Katakanlah saya punya sinus 1kHz, jadi tidak ada harmonik yang lebih tinggi, maka saya perlu sampel setidaknya pada 2kHz untuk dapat merekonstruksi itu.
Tetapi jika saya sampel pada 2kHz, tetapi semua sampel saya berada di persimpangan nol, maka sinyal sampel saya tidak menunjukkan sinus sama sekali, bukan EKG pasien yang sudah meninggal. Bagaimana itu bisa dijelaskan?

Ini juga dapat diperluas ke frekuensi pengambilan sampel yang lebih tinggi. Jika saya sampel bentuk gelombang yang lebih kompleks pada 10kHz, saya setidaknya harus mendapatkan 5 harmonik pertama, tetapi jika bentuk gelombang sedemikian rupa sehingga sampel setiap kali nol, sekali lagi kita tidak mendapatkan apa-apa. Ini tidak terlalu mengada-ada, sangat mungkin untuk gelombang persegi panjang dengan siklus kerja <10%.

Jadi mengapa kriteria Nyquist-Shannon tampaknya tidak berlaku di sini?

Anda sebenarnya membutuhkan laju sampling lebih dari 2 kHz untuk sampel gelombang sinus 1 kHz dengan benar. Ini bukan f N ≤ f S /

NB Jika Anda membawa sinyal Anda ke ruang kompleks, di mana sinusoid berbentuk mana t adalah waktu, A adalah amplitudo, f adalah frekuensi, dan θ adalah offset fasa, adalah titik di mana frekuensi "terlipat", yaitu Anda tidak dapat membedakan f dari -f . Peningkatan frekuensi lebih lanjut akan muncul, setelah sampling, agar frekuensi sampling dikurangi dari mereka, dalam kasus sinusoid murni.f N = f S /

Non-Sinusoid

Untuk kasus gelombang persegi pada 1 kHz dengan siklus kerja kurang dari atau sama dengan 10% yang diambil sampel pada 10 kHz, Anda salah memahami input.

Pertama, Anda perlu menguraikan bentuk gelombang Anda menjadi seri Fourier untuk mencari tahu apa amplitudo komponen harmonik. Anda mungkin akan terkejut bahwa harmonik untuk sinyal ini cukup besar melewati 5 kHz! (Aturan praktis harmonik ketiga 1/3 sekuat fundamental, dan 5 harmonis 1/5 fundamental, hanya berlaku untuk 50% siklus gelombang siklus persegi .)

Aturan praktis untuk sinyal komunikasi adalah bahwa bandwidth kompleks Anda sama dengan kebalikan dari waktu pulsa terkecil Anda, jadi dalam hal ini Anda mencari minimum bandwidth 10 kHz (-5 kHz hingga 5 kHz) untuk 10% siklus kerja dengan fundamental pada 1 kHz (yaitu 10 kbps).

Jadi apa yang akan merusak Anda adalah bahwa harmonik tingkat tinggi yang kuat ini akan melipat dan mengganggu (secara konstruktif atau destruktif) dengan harmonik in-band Anda, jadi sangat diharapkan bahwa Anda mungkin tidak mendapatkan sampel yang baik karena begitu banyak informasi di luar Nyquist pita.

Mike menjelaskannya dengan baik: ini adalah aliasing yang membuat harmonik menghilang dalam sinyal sampel, lipat frekuensi yang lebih tinggi dari ke . Ketika bekerja dengan sinyal sampel, Anda harus selalu memastikan untuk menyaring apa pun di atas .F S - f F S / 2$F_S + f$$F_S - f$
$F_S / 2$

Dalam spektrum ini bagian biru adalah spektrum sinyal pita dasar Anda dari hingga . (Lihat pertanyaan ini tentang frekuensi negatif). Perhatikan bahwa spektrum ini diulang sekitar setiap kelipatan . Dalam contoh ini tidak ada masalah; sinyal asli dipisahkan dari gambar, dan dapat direkonstruksi. F S / 2 F $-F_S / 2$$F_S / 2$
$F_S$

Dalam contoh ini (hanya frekuensi positif yang ditampilkan) kita dapat melihat bahwa sinyal pita dasar meluas melampaui . Karena alias lipat tumpang tindih dengan sinyal dasar kami, dan tidak mungkin kami bisa menyaringnya lagi. Itu sebabnya Anda memerlukan filter low-pass (tajam).$F_S / 2$

Sekarang Anda dapat mengatakan bahwa pulsa akan terlihat sangat berbeda setelah pemfilteran low-pass, dan itu benar, tetapi jika Anda tidak ingin Anda memilih frekuensi sampel terlalu rendah. (Untuk sinyal terputus-putus seperti pulsa, yang memiliki spektrum tak terbatas, Anda akan selalu mengalami distorsi, apa pun Anda ). Ingatlah bahwa Anda dapat merekonstruksi sinyal hanya untuk frekuensi yang lebih kecil dari .F S /$F_S$$F_S / 2$

Teorema itu ok. Sinyal Anda TIDAK boleh mengandung frekuensi yang sama atau lebih tinggi dari setengah laju sampling, sesuai dengan Nyquist. Shannon mungkin mengizinkannya, tetapi teorema versinya, yang mungkin menyebabkan ambiguitas pada frekuensi kritis.

Sunting (Re: downvoting untuk jawaban singkat?): Saya tidak melihat perlunya menjelaskan metode pengambilan sampel itu sendiri. Pertanyaannya adalah tentang kebingungan "apakah frekuensi kritis dimasukkan ke dalam pita atau bukan", dan jika kata-kata teorema oleh Shannon mengandung kesalahan. Sebenarnya tidak (seperti yang saya lihat di dunia wiki). Atau kemungkinan besar penulis wiki mengutip kata-katanya dengan tidak tepat. Dan omong-omong, ada 4 penulis independen di abad ke-20 dari teorema ini, sehingga kebingungan siapa pun yang mempelajari ide dari sumber acak dapat menjadi lebih buruk.

Jika Anda memiliki 2 sampel pada gelombang sinus , dan mereka terjadi pada penyilangan nol, pada dan maka Anda dapat menentukan frekuensi sinyal dengan waktu antara dua sampel .$N Hz$1$\frac{1}{2}N$$1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

Di mana adalah frekuensi dan adalah waktu antara dua sampel zero-crossing.$f$$t$

Tetapi menurut Wikipedia:

Pada intinya, teorema menunjukkan bahwa sinyal analog terbatas pita yang telah disampel dapat direkonstruksi dengan sempurna dari urutan sampel tanpa batas jika laju pengambilan sampel melebihi 2B sampel per detik, di mana B adalah frekuensi tertinggi dalam sinyal asli.

Jadi frekuensi sampling dua kali frekuensinya salah - seharusnya hanya lebih dari dua kali frekuensinya. Dengan cara itu sampel berturut-turut menangkap bagian gelombang yang sedikit berbeda.

Ketika pengambilan sampel pada laju F tertentu, setiap komponen frekuensi f akan menghasilkan alias dari bentuk kF + f dan kF- f untuk semua nilai integer k. Dalam penggunaan umum, tidak ada komponen frekuensi di atas F / 2 ketika sinyal disampel, sehingga satu-satunya komponen dalam kisaran 0 hingga F / 2 adalah komponen yang ada dalam sinyal asli. Setelah pengambilan sampel, akan ada komponen sinyal di atas F / 2 (dihasilkan sebagai alias dari yang di bawah). Yang paling merepotkan dari semua ini untuk frekuensi f dalam sinyal asli adalah frekuensi F- f .

Perhatikan bahwa sebagai frekuensi fmendekati F / 2 dari bawah, frekuensi alias pertama akan mendekati F / 2 dari atas. Jika input berisi sinyal pada frekuensi F / 2-0.01Hz, akan ada alias pada frekuensi F / 2 + 0.01Hz - hanya 0,02Hz di atasnya. Memisahkan sinyal asli dan alias akan dimungkinkan secara teoritis, tetapi dalam praktiknya sulit. Bentuk gelombang sampel akan muncul sebagai jumlah dari dua gelombang dengan kekuatan yang sama dengan frekuensi yang hampir sama. Dengan demikian, amplitudonya akan tampak berubah dengan fase relatif dari gelombang frekuensi tinggi. Dalam kasus di mana frekuensi input tepat F / 2, frekuensi alias juga akan persis F / 2. Karena tidak akan ada pemisahan frekuensi sama sekali antara yang asli dan alias, pemisahan tidak akan mungkin. Hubungan fase antara sinyal asli dan alias akan menentukan amplitudo sinyal yang dihasilkan.