Seperti yang orang lain catat di komentar, metode integrasi Euler dasar yang dijelaskan dalam jawaban tenpn menderita beberapa masalah:
Bahkan untuk gerakan sederhana, seperti melompat balistik di bawah gravitasi konstan, itu menimbulkan kesalahan sistematis.
Kesalahan tergantung pada timestep, yang berarti bahwa mengubah timestep mengubah lintasan objek secara sistematis yang mungkin diperhatikan oleh pemain jika permainan menggunakan timestep variabel. Bahkan untuk game dengan catatan waktu fisika tetap, mengubah catatan waktu selama pengembangan dapat secara nyata mempengaruhi fisika permainan seperti jarak benda yang diluncurkan dengan kekuatan tertentu akan terbang, berpotensi melanggar level yang dirancang sebelumnya.
Itu tidak menghemat energi, bahkan jika fisika yang mendasarinya seharusnya. Khususnya, objek yang harus berosilasi dengan mantap (mis. Pendulum, pegas, planet yang mengorbit, dll.) Dapat terus mengakumulasi energi hingga seluruh sistem meledak.
Untungnya, tidak sulit untuk menggantikan integrasi Euler dengan sesuatu yang hampir sesederhana itu, namun tidak memiliki masalah ini - khususnya, integrator symplectic orde dua seperti integrasi leapfrog atau metode Verlet kecepatan yang berkaitan erat . Secara khusus, ketika integrasi Euler dasar memperbarui kecepatan dan posisi sebagai:
akselerasi = gaya (waktu, posisi) / massa;
waktu + = timestep;
position + = timestep * velocity;
kecepatan + = percepatan waktu * akselerasi;
metode velocity Verlet melakukannya seperti ini:
akselerasi = gaya (waktu, posisi) / massa;
waktu + = timestep;
posisi + = timestep * ( kecepatan + timestep * akselerasi / 2) ;
newAcceleration = force (waktu, posisi) / massa;
kecepatan + = tanda waktu * ( akselerasi + akselerasi baru) / 2 ;
Jika Anda memiliki beberapa objek yang berinteraksi, Anda harus memperbarui semua posisi mereka sebelum menghitung ulang kekuatan dan memperbarui kecepatan. Akselerasi baru kemudian dapat disimpan dan digunakan untuk memperbarui posisi di timestep berikutnya, mengurangi jumlah panggilan force()menjadi satu (per objek) per timestep, seperti halnya dengan metode Euler.
Juga, jika akselerasi biasanya konstan (seperti gravitasi selama lompatan balistik), kita dapat menyederhanakan hal di atas menjadi hanya:
waktu + = timestep;
posisi + = timestep * ( kecepatan + timestep * akselerasi / 2) ;
kecepatan + = percepatan waktu * akselerasi;
di mana istilah ekstra dalam huruf tebal adalah satu-satunya perubahan dibandingkan dengan integrasi Euler dasar.
Dibandingkan dengan integrasi Euler, metode Verlet dan leapfrog kecepatan memiliki beberapa properti bagus:
Untuk akselerasi yang konstan, mereka memberikan hasil yang pasti (kesalahan pembulatan titik mengambang), yang berarti bahwa lompatan lompatan balistik tetap sama bahkan jika catatan waktu diubah.
Mereka adalah integrator orde kedua, yang berarti bahwa, bahkan dengan percepatan yang bervariasi, kesalahan integrasi rata-rata hanya sebanding dengan kuadrat dari catatan waktu. Ini dapat memungkinkan langkah waktu yang lebih besar tanpa mengurangi akurasi.
Mereka symplectic , artinya mereka menghemat energi jika fisika yang mendasarinya melakukan (setidaknya selama timestep konstan). Secara khusus, ini berarti Anda tidak akan mendapatkan benda-benda seperti planet yang terbang spontan keluar dari orbitnya, atau benda-benda yang saling menempel dengan pegas berangsur-angsur bergoyang semakin banyak sampai semuanya meledak.
Namun metode kecepatan Verlet / leapfrog hampir sesederhana dan secepat integrasi Euler dasar, dan tentu saja jauh lebih sederhana daripada alternatif seperti integrasi Runge-Kutta urutan keempat (yang, meskipun umumnya integrator yang sangat bagus, tidak memiliki properti simpplektik dan memerlukan empat evaluasi dari force()fungsi per langkah waktu). Dengan demikian, saya akan sangat menyarankan mereka untuk siapa pun yang menulis segala jenis kode fisika gim, meskipun sesederhana melompat dari satu platform ke platform lainnya.
Sunting: Walaupun derivasi formal dari metode Verlet kecepatan hanya valid ketika gaya tidak bergantung pada kecepatan, dalam praktiknya Anda dapat menggunakannya dengan baik bahkan dengan gaya yang bergantung pada kecepatan seperti tarik fluida . Untuk hasil terbaik, Anda harus menggunakan nilai akselerasi awal untuk memperkirakan kecepatan baru untuk panggilan kedua force(), seperti ini:
akselerasi = gaya (waktu, posisi, kecepatan) / massa;
waktu + = timestep;
posisi + = timestep * ( kecepatan + timestep * akselerasi / 2) ;
kecepatan + = percepatan waktu * akselerasi;
newAcceleration = gaya (waktu, posisi, kecepatan) / massa;
velocity + = timestep * (newAcceleration - acceleration) / 2 ;
Saya tidak yakin apakah varian khusus metode vellet Verlet ini memiliki nama tertentu, tetapi saya telah mengujinya dan tampaknya berfungsi dengan sangat baik. Ini tidak seakurat Runge-Kutta orde-orde (seperti yang diharapkan dari metode orde kedua), tetapi jauh lebih baik daripada Euler atau kecepatan naif Verlet tanpa perkiraan kecepatan menengah, dan masih mempertahankan sifat simptektik normal. velocity Verlet untuk gaya konservatif, tidak bergantung pada kecepatan.
Sunting 2: Algoritma yang sangat mirip dijelaskan misalnya oleh Groot & Warren ( J. Chem. Phys. 1997) , meskipun, membaca yang tersirat, tampaknya mereka mengorbankan beberapa akurasi untuk kecepatan ekstra dengan menyimpan newAccelerationnilai yang dihitung menggunakan kecepatan yang diperkirakan dan menggunakannya kembali sebagai accelerationuntuk catatan waktu berikutnya. Mereka juga memperkenalkan parameter 0 ≤ λ ≤ 1 yang dikalikan dengan accelerationdalam perkiraan kecepatan awal; untuk beberapa alasan, mereka merekomendasikan λ = 0,5, meskipun semua tes saya menyarankan λ= 1 (yang secara efektif apa yang saya gunakan di atas) bekerja dengan baik atau lebih baik, dengan atau tanpa penggunaan kembali percepatan. Mungkin itu ada hubungannya dengan fakta bahwa pasukan mereka termasuk komponen gerak Brown stochastic.