Bagaimana cara mengimplementasikan matriks eksponensial dalam rangkaian kuantum?

Mungkin ini adalah pertanyaan yang naif, tapi saya tidak tahu bagaimana sebenarnya mengekspansiasi sebuah matriks dalam rangkaian kuantum. Dengan asumsi memiliki matriks persegi generik A , jika saya ingin mendapatkan eksponensial, , saya dapat menggunakan seri $e^{A}$

e^{SEBUAH} ≃ saya + SEBUAH + \frac{{SEBUAH}^{2}}{2!} + \frac{{SEBUAH}^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Untuk memiliki perkiraannya. Saya tidak mendapatkan cara melakukan hal yang sama menggunakan gerbang kuantum lalu menerapkannya misalnya untuk melakukan simulasi Hamilton. Beberapa bantuan?

— FSic
sumber

Tidak jelas apakah Anda berbicara tentang sirkuit kuantum yang mengambil sebagai input dan output atau simulasi Hamiltonian (yaitu membangun sirkuit yang matriks kesatuannya cocok dengan ).

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee

Salahku; apa yang saya maksud adalah, mengambil matriks A, saya ingin memiliki di rangkaian saya eksponensial, .

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

Merumuskan kembali pertanyaan Anda:

Bagaimana melakukan Simulasi Hamiltonian untuk matriks kuadratik ? $A$

Jawaban cepat : itu tidak mungkin.

Tujuan Hamiltonian Simulation (HS) adalah untuk menemukan rangkaian kuantum (yaitu suksesi gerbang) yang bertindak seperti pada keadaan kuantum. Di sini perlu bersifat kesatuan (karena sifat-sifat gerbang kuantum) dan karenanya juga harus bersifat kesatuan. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

Jadi algoritma HS hanya berlaku untuk matriks sehingga adalah kesatuan. Setiap matriks hermitian memenuhi sifat ini, tetapi tidak setiap matriks memenuhi . Bergantung pada masalah Anda, batasan ini mungkin atau mungkin bukan masalah tetapi Anda tidak bisa menggunakan HS jika bukan kesatuan. $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

Sebagai contoh untuk algoritma HHL (yang menggunakan HS sebagai subrutin) dengan sistem , jika bukan kesatuan, Anda dapat mempertimbangkan masalah selesaikan dengan HHL (yang sekarang mungkin karena matriks adalah hermitian) dan pulih . $A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 & SEBUAH \\ {SEBUAH}^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

Jadi pertanyaan yang menarik sekarang:

Bagaimana cara melakukan Simulasi Hamiltonian untuk matriks hermitian diberikan ? $A$

Dan jawabannya akan tergantung pada sifat-sifat . $A$

Ini adalah topik penelitian yang sangat besar dan ada banyak hal untuk dikatakan. Saya tidak akan menyajikan setiap metode di sini karena mereka cukup rumit dan saya tidak mengerti semuanya. Berikut adalah daftar makalah / presentasi yang terkait dengan HS dan yang mungkin menarik untuk memulai dengan HS:

Mensimulasikan dinamika Hamilton pada komputer kuantum kecil : slide tentang HS. Bahkan jika itu adalah presentasi, ini adalah sumber paling lengkap yang saya temukan di Simulasi Hamilton. Ini menyajikan dengan cepat 3 metode yang berbeda dan mengutip makalah yang menarik untuk setiap metode.
Catatan Kuliah tentang Algoritma Quantum (Andrew M. Childs, 2017) : baru-baru ini dan agak lengkap. HS dibahas dalam bab 25 (halaman 123).
Peningkatan presisi dalam eksponensial untuk mensimulasikan Hamiltonian yang jarang : menyajikan secara rinci salah satu dari 3 metode yang disajikan dalam 1.
Algoritma kuantum yang efisien untuk mensimulasikan Hamiltonian yang jarang : menyajikan secara terperinci yang lain dari 3 metode yang disajikan dalam 1.

— Awal
sumber

Terima kasih, terutama untuk referensi, saya akan melihatnya!

— FSic

Saya sarankan Anda untuk memulai dengan referensi pertama. Ini yang paling lengkap dan memberi tautan ke artikel lain. Bagi saya (sudut pandang pribadi), teknik pertama menggunakan rumus Trotter-Suzuki adalah yang paling bisa dimengerti. Tetapi mungkin tidak sama untuk Anda!

— Awal

Setiap matriks hermitian memenuhi sifat ini : lebih khusus, semua dan hanya matriks Hermitian yang memiliki sifat ini

— glS