Estimasi fase kuantum dan algoritma HHL - diperlukan pengetahuan tentang nilai eigen?

The algoritma estimasi fase kuantum (QPE) menghitung perkiraan nilai eigen terkait dengan vektor eigen yang diberikan dari gerbang kuantum . $U$

Secara formal, biarkan menjadi vektor eigen dari , QPE memungkinkan kita menemukan , pendekatan bit terbaik dari sedemikian rupa sehingga dan $\left|\psi\right>$ $U$ $\vert\tilde\theta\rangle$ $m$ $\lfloor2^m\theta\rfloor$ $\theta \in [0,1)$

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

The algoritma hhl ( kertas asli ) mengambil sebagai masukan matriks yang memuaskan dan keadaan kuantum dan hitungan yang mengkodekan solusi dari sistem linear . $A$

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$

| b ⟩

$\vert b \rangle$

| x ⟩

$\vert x \rangle$

A x = b

$Ax = b$

Catatan : Setiap matriks hermitian statisfy kondisi di . $A$

Untuk melakukannya, algoritma HHL menggunakan QPE pada gerbang kuantum yang diwakili oleh . Berkat hasil aljabar linear, kita tahu bahwa jika adalah nilai eigen dari maka adalah nilai eigen dari . Hasil ini juga dinyatakan dalam algoritma sistem linear Quantum: primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (halaman 29, antara persamaan 68 dan 69). $U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

Dengan bantuan QPE, langkah pertama algoritma HLL akan mencoba memperkirakan sedemikian sehingga . Ini membawa kita ke persamaan yaitu Dengan menganalisis sedikit implikasi dari kondisi dan , saya berakhir dengan kesimpulan bahwa jika (yaitu ), algoritma estimasi fase gagal untuk memprediksi nilai eigen yang tepat. $\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

Tetapi karena dapat berupa matriks hermitian apa pun, kita dapat memilih dengan bebas nilai eigennya dan khususnya kita dapat memilih nilai eigen besar yang sewenang-wenang untuk sehingga QPE akan gagal ( ). $A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

Dalam Desain Sirkuit Kuantum untuk Memecahkan Sistem Persamaan Linear (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2012) mereka memecahkan masalah ini dengan mensimulasikan , mengetahui bahwa nilai eigen dari adalah . Mereka menormalkan matriks (dan nilai eigennya) untuk menghindari kasus di mana . $e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

Di sisi lain, sepertinya parameter dapat digunakan untuk melakukan normalisasi ini. $t$

Pertanyaan: Apakah kita perlu mengetahui batas atas nilai eigen untuk menormalkan matriks dan memastikan bahwa bagian QPE dari algoritma HHL akan berhasil? Jika tidak, bagaimana kita memastikan bahwa QPE akan berhasil (yaitu )? $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Awal
sumber

Katakanlah . Apakah Anda mengatakan lambda tidak mungkin negatif? Apa yang salah dengan memiliki nilai eigen negatif? Katakanlah dan . Kemudian: , dan . Nilai yang sepenuhnya valid untuk . Apa yang salah dengan itu? Mengapa harus positif atau ? Nilai eigen bisa negatif.

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

— user1271772

@ user1271772 Dalam hal ini tidak, tidak boleh negatif karena QPE memaksakan itu . Jika (karena Anda menancapkan sebuah matriks dengan nilai eigen negatif, tentu saja ini mungkin), maka output dari QPE tidak akan mewakili melainkan dengan , yaitu " modulo ", dan ini akan membuat algoritma HHL gagal.

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

— Awal

Anda harus tahu batasan pada nilai eigen (baik atas dan bawah). Seperti yang Anda katakan, Anda dapat menormalkan dengan men-rescaling . Memang, Anda harus melakukan ini untuk mendapatkan perkiraan seakurat mungkin, menyebarkan nilai pada rentang penuh . Membatasi nilai eigen biasanya bukan masalah. Misalnya, Anda mungkin memerlukan matriks jarang, sehingga tidak ada terlalu banyak elemen matriks nol di setiap baris. Memang, masalah spesifikasi mungkin memberi Anda terikat pada jumlah non zero-entri per baris, dan nilai maksimum dari setiap entri . $A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

Kemudian Anda bisa menerapkan sesuatu seperti teorema lingkaran Gershgorin. Ini menyatakan bahwa nilai eigen maksimum dibatasi oleh dan minimum dibatasi lebih rendah oleh The adalah elemen matriks .

\underset{saya}{maks} {Sebuah}_{saya saya} + \sum_{j \neq saya} | {Sebuah}_{saya j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{saya} {Sebuah}_{saya saya} - \sum_{j \neq saya} | {Sebuah}_{saya j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

Dalam nilai-nilai , , jika Anda khawatir bahwa untuk matriks besar (katakanlah qubit), sedangkan jumlah baris mungkin mudah dihitung (karena tidak ada banyak entri), maks semua baris mungkin butuh waktu lama waktu (karena ada baris), akan ada berbagai cara untuk mendapatkan perkiraan yang baik untuk itu (misalnya pengambilan sampel, atau menggunakan pengetahuan tentang struktur masalah). Kasus terburuk, Anda mungkin dapat menggunakan pencarian Grover untuk mempercepatnya sedikit. $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
sumber

Grover bukan peningkatan: meskipun kita dapat menggunakan algoritma, kita masih akan memerlukan permintaan , yang menghancurkan peningkatan HHL secara eksponensial atas metode klasik dan menggantinya dengan speedup kuadratik. Jadi satu-satunya harapan yang tersisa adalah pengambilan sampel (memperkenalkan sumber kesalahan lain) atau berdoa dan berharap bahwa masalahnya memungkinkan kita untuk memperkirakan batas atas / bawah. Sepertinya cacat utama bagi saya.

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nelimee

Tentu, saya hanya berarti bahwa Grover memberi Anda speedup root kuadrat dibandingkan dengan cara naif untuk mendapatkan maks. Tentu saja itu berdampak buruk pada keseluruhan waktu berjalan.

— DaftWullie