Apa pengukuran Helstrom?

Saya telah membaca makalah Percaya decoding propagasi saluran kuantum dengan mengirimkan pesan kuantum oleh Joseph Renes untuk decoding saluran Quantum-Klasik dan saya telah menyeberang dengan konsep Pengukuran Helstrom .

Saya memiliki pengetahuan tentang teori informasi kuantum dan koreksi kesalahan kuantum, tetapi saya belum pernah membaca tentang pengukuran seperti itu sampai saya mengerjakan makalah itu. Dalam artikel tersebut, penulis menyatakan bahwa pengukuran optimal untuk prosedur dekode ini, jadi saya ingin tahu seperti apa pengukuran tersebut dan bagaimana mereka dapat dilakukan.

algorithm error-correction quantum-information

— Josu Etxezarreta Martinez
sumber

Pengukuran Helstrom adalah pengukuran yang memiliki probabilitas kesalahan minimum ketika mencoba untuk membedakan antara dua kondisi.

Sebagai contoh, mari kita bayangkan Anda memiliki dua keadaan murni dan , dan Anda ingin tahu mana itu adalah bahwa Anda memiliki. Jika , maka Anda dapat menentukan pengukuran dengan tiga proyektor $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ $\langle\psi|\phi\rangle=0$ (Untuk ruang Hilbert dua dimensi,)

P_{ψ} = | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{ϕ} = | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | \bar{P} = saya - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|\qquad P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

\bar{P} = 0

$\bar P=0$

Pertanyaannya adalah apa pengukuran harus Anda lakukan dalam kasus yang ? Secara khusus, mari kita asumsikan bahwa , dan saya akan berkonsentrasi hanya pada pengukuran proyektif (IIRC, ini adalah optimal). Dalam hal itu, selalu ada kesatuan sehingga $\langle\psi|\phi\rangle\neq0$ $\langle\psi|\phi\rangle=\cos(2\theta)$ $U$ Sekarang, negara-negara tersebut secara optimal dibedakan dengandan(Anda mendapatkan , dan Anda menganggap Anda memiliki ). Oleh karena itu, pengukuran optimal adalah

U | ψ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ + dosa θ | 1 ⟩ U | ϕ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ - dosa θ | 1 ⟩ .

| + ⟩ ⟨ + |

$|+\rangle\langle +|$

| - ⟩ ⟨ - |

$|-\rangle\langle -|$

| + ⟩

$|+\rangle$

U | ψ ⟩

$U|\psi\rangle$

Probabilitas keberhasilan adalah

P_{ψ} = U^{†} | + ⟩ ⟨ + | U P_{ϕ} = U^{†} | - ⟩ ⟨ - | U \bar{P} = saya - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=U^\dagger|+\rangle\langle+|U\qquad P_{\phi}=U^\dagger|-\rangle\langle-|U\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

{(\frac{\cos θ + dosa θ}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1 + dosa (2 θ)}{2} .

$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+\sin(2\theta)}{2}.$

$\rho_1$ $\rho_2$

δ ρ = ρ_{1} - ρ_{2},

$\delta\rho=\rho_1-\rho_2,$

{λ_{i}}

$\{\lambda_i\}$

| λ_{i} ⟩

$|\lambda_i\rangle$

δ ρ

$\delta\rho$

P_{1} = \sum_{saya : λ_{saya} > 0} | λ_{saya} ⟩ ⟨ λ_{saya} | P_{2} = \sum_{saya : λ_{saya} < 0} | λ_{saya} ⟩ ⟨ λ_{saya} | P_{0} = saya - P_{1} - P_{2} .

$P_1=\sum_{i:\lambda_i>0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_2=\sum_{i:\lambda_i<0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_0=\mathbb{I}-P_1-P_2.$

P_{1}

$P_1$

ρ_{1}

$\rho_1$

P_{2}

$P_2$

ρ_{2}

$\rho_2$

P_{0}

$P_0$

\frac{1}{2} Tr ((P_{1} + P_{0} / 2) ρ_{1}) + \frac{1}{2} Tr ((P_{2} + P_{0} / 2) ρ_{2})

$\frac12\text{Tr}((P_1+P_0/2)\rho_1)+\frac12\text{Tr}((P_2+P_0/2)\rho_2)$

\frac{1}{4} Tr ((P_{1} + P_{2} + P_{0}) (ρ_{1} + ρ_{2})) + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$\frac14\text{Tr}((P_1+P_2+P_0)(\rho_1+\rho_2))+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

P_{1} + P_{2} + P_{0} = I

$P_1+P_2+P_0=\mathbb{I}$

Tr (ρ_{1}) = Tr (ρ_{2}) = 1

$\text{Tr}(\rho_1)=\text{Tr}(\rho_2)=1$

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2})) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr | ρ_{1} - ρ_{2} | .

$\frac12+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))=\frac12+\frac14\text{Tr}|\rho_1-\rho_2|.$

— DaftWullie
sumber

λ_{i}

$\lambda_i$

δ ρ

$\delta\rho$

@JosuEtxezarretaMartinez Ya.

— DaftWullie

T r ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$Tr((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

T r | ρ_{1} - ρ_{2} |

$Tr|\rho_1-\rho_2|$

P_{1}

$P_1$

δ ρ

$\delta\rho$

- P_{2}

$-P_2$

δ ρ

$\delta\rho$

(P_{1} - P_{2}) δ ρ = | δ ρ |

$(P_1-P_2)\delta\rho=|\delta\rho|$