Mengapa tidak ada kode koreksi kesalahan dengan kurang dari 5 qubit?

Saya membaca tentang kode koreksi kesalahan 9-qubit, 7-qubit dan 5-qubit belakangan ini. Tetapi mengapa tidak ada kode koreksi kesalahan kuantum dengan kurang dari 5 qubit?

Bukti bahwa Anda membutuhkan setidaknya 5 qubit (atau qudit)

Berikut ini adalah bukti bahwa setiap kode koreksi kesalahan kuantum tunggal ( yaitu, jarak 3) memiliki setidaknya 5 qubit. Bahkan, generalises ini untuk qudits dari dimensi , dan kesalahan kuantum kode mengoreksi melindungi satu atau lebih qudits dimensi .$d$$d$

(Seperti yang dicatat Felix Huber , bukti asli bahwa Anda memerlukan setidaknya 5 qubit adalah karena artikel Knill - Laflamme [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] yang menetapkan kondisi Knill - Laflamme: berikut ini adalah teknik bukti yang lebih umum digunakan saat ini.)

Setiap kesalahan kuantum kode mengoreksi yang dapat memperbaiki kesalahan yang tidak diketahui, juga dapat memperbaiki hingga kesalahan penghapusan (di mana kita hanya kehilangan beberapa qubit, atau menjadi benar-benar depolarised, atau serupa) jika lokasi dari qubit terhapus dikenal. [1, Sec. III A] *. Sedikit lebih umum, kode koreksi kesalahan kuantum jarak dapat mentolerir kesalahan penghapusan . Sebagai contoh, sementara kode dapat memperbaiki kesalahan sama sekali, pada dasarnya karena dapat memberitahu bahwa kesalahan telah terjadi (dan bahkan jenis kesalahan apa) tetapi bukan qubit mana yang kebetulan, kode yang sama dapat melindungi terhadap kesalahan penghapusan tunggal (karena dengan hipotesis kita tahu persis di mana kesalahan terjadi dalam kasus ini).$t$$2t$$d$$d-1$$[\![4,2,2]\!]$

$n \geqslant 2$$n-2$n ⩾ 5$2$$n<5$$2 \geqslant n-2$$n \geqslant 5$

Memperbaiki kesalahan penghapusan

* Referensi awal yang saya temukan untuk ini adalah

[1] Grassl, Beth, dan Pellizzari.
      Kode untuk Saluran Penghapus Quantum .
      Phys Pendeta A 56 (hlm. 33–38), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- yang tidak lama setelah kondisi Knill-Laflamme dijelaskan dalam [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] dan dengan demikian merupakan bukti asli dari koneksi antara jarak kode dan kesalahan penghapusan. Garis besarnya adalah sebagai berikut, dan berlaku untuk kode koreksi kesalahan jarak (dan berlaku sama baiknya untuk qudit dari setiap dimensi menggantikan qubit, menggunakan operator Pauli umum).$d$

• Hilangnya hits dapat dimodelkan dengan qubit-qubit tersebut yang tunduk pada saluran yang sepenuhnya mendepolarisasi, yang pada gilirannya dapat dimodelkan oleh qubit-qubit yang menjadi subjek kesalahan Pauli acak yang seragam.$d-1$

• Jika lokasi qubit itu tidak diketahui, ini akan berakibat fatal. Namun, karena lokasi mereka diketahui, setiap pasangan kesalahan Pauli pada qubit dapat dibedakan satu sama lain, dengan mengajukan banding ke kondisi Knill-Laflamme.$d-1$$d-1$

• Oleh karena itu, dengan mengganti qubit yang dihapus dengan qubit dalam kondisi campuran maksimum dan menguji kesalahan Pauli pada qubit tertentu (membutuhkan prosedur koreksi yang berbeda dari yang akan Anda gunakan untuk memperbaiki kesalahan Pauli yang sewenang-wenang, ingatlah), Anda dapat memulihkan keadaan asli.$d-1$

Apa yang dapat kita buktikan dengan mudah adalah bahwa tidak ada kode non-degenerasi yang lebih kecil .

Dalam kode non-merosot, Anda harus memiliki 2 keadaan logis dari qubit, dan Anda harus memiliki keadaan yang berbeda untuk setiap kesalahan yang mungkin untuk memetakan setiap keadaan logis. Jadi, katakanlah Anda memiliki kode 5 qubit, dengan dua status logis dan . Himpunan kesalahan qubit tunggal yang mungkin adalah , dan itu artinya semua status harus dipetakan ke status orthogonal.$|0_L\rangle$$|1_L\rangle$$X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$

Jika kita menerapkan argumen ini secara umum, ini menunjukkan kepada kita bahwa kita membutuhkan status yang berbeda. Tetapi, untuk qubit, jumlah maksimum dari status berbeda adalah . Jadi, untuk kesalahan non-degenerasi, perbaiki kode jarak 3 (yaitu mengoreksi untuk setidaknya satu kesalahan) atau lebih besar, kita membutuhkan Ini disebut Quantum Hamming Bound. Anda dapat dengan mudah memeriksa apakah ini benar untuk semua , tetapi tidak jika . Memang, untuk , ketidaksetaraan adalah kesetaraan, dan kami menyebutnya kode 5-qubit yang sesuai sebagai kode yang sempurna sebagai hasilnya.

$$2+2\times(3n)$$ $n$$2^n$ $$2^n\geq 2(3n+1).$$ $n\geq 5$$n<5$$n=5$

Sebagai pelengkap jawaban yang lain, saya akan menambahkan kuantum Hamming terikat umum untuk kode koreksi kesalahan kuantum non-degenerasi. Formulasi matematis dari ikatan seperti itu adalah

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ mana $n$ merujuk pada jumlah qubit yang membentuk kode sandi, $k$ adalah jumlah informasi qubit yang dikodekan (sehingga mereka dilindungi dari dekoherensi), dan $t$ adalah jumlah kesalahan $t$ -qubit yang diperbaiki oleh kode. Karena $t$ berhubungan dengan jarak dengan $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, maka kode kuantum non-degenerasi tersebut akan menjadi$[[n,k,d]]$kode koreksi kesalahan kuantum. Ini terikat diperoleh dengan menggunakan bola-packing seperti argumen, sehingga$2^n$dimensi ruang Hilbert dibagi menjadi$2^{n-k}$ruang masing-masing deistinguished oleh sindrom yang diukur, dan satu kesalahan ditugaskan untuk masing-masing sindrom, dan operasi pemulihan dilakukan dengan membalik kesalahan yang terkait dengan sindrom yang diukur tersebut. Itu sebabnya jumlah kesalahan total dikoreksi oleh kode kuantum non-degenerasi harus kurang atau sama dengan jumlah partisi dengan pengukuran sindrom.

Namun, degenerasi adalah properti dari kode koreksi kesalahan kuantum yang menyiratkan fakta bahwa ada kelas kesetaraan antara kesalahan yang dapat memengaruhi kode kata yang dikirim. Ini berarti bahwa ada kesalahan yang pengaruhnya terhadap codewords yang ditransmisikan adalah sama saat berbagi sindrom yang sama. Ini menyiratkan bahwa kelas-kelas kesalahan degenerasi diperbaiki melalui operasi pemulihan yang sama, dan lebih banyak kesalahan yang diharapkan dapat diperbaiki. Itu sebabnya tidak diketahui apakah kuantum Hamming terikat untuk kode koreksi kesalahan yang menurun ini, karena lebih banyak kesalahan daripada partisi yang dapat diperbaiki dengan cara ini. Silakan merujuk ke pertanyaan ini untuk beberapa informasi tentang pelanggaran batas kuantum Hamming.

Saya ingin menambahkan komentar singkat ke referensi paling awal. Saya yakin ini sudah ditunjukkan sedikit lebih awal pada Bagian 5.2 dari

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

di mana hasil spesifiknya adalah:

$(2^r,k)$ $e$$r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$

$(N,K)$$K$$N$$e$$e$$(2^n, 2^k)$ $e$$[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$$k \geqslant 1$$d \geqslant 3$$[\![n,k,d]\!]$

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

( NB Ada kekhasan dengan tanggal di sini: pengajuan arxiv kertas di atas adalah April 1996, beberapa bulan lebih awal dari kertas Grassl, Beth, dan Pellizzari yang diajukan pada Oktober 1996. Namun, tanggal di bawah judul di negara pdf setahun sebelumnya, April 1995.)

Sebagai bukti alternatif, saya bisa membayangkan (tetapi belum diuji) bahwa hanya menyelesaikan distribusi berat yang memenuhi Mac-Williams Identities juga sudah cukup. Strategi seperti itu memang digunakan

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

untuk menunjukkan bahwa tidak ada kode yang merosot pada lima qubit yang dapat memperbaiki kesalahan tunggal.