Simulasikan evolusi hamilton

11

Saya mencoba mencari cara untuk mensimulasikan evolusi qubit di bawah interaksi orang Hamilton dengan istilah yang ditulis sebagai produk tensor dari matriks Pauli di komputer kuantum. Saya telah menemukan trik berikut dalam buku Nielsen dan Chuang yang dijelaskan dalam posting ini untuk seorang Hamiltonian dalam formulir

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ .

Tetapi tidak dijelaskan secara rinci bagaimana simulasi untuk seorang Hamiltonian dengan ketentuan termasuk matriks Pauli atau akan bekerja. Saya mengerti bahwa Anda dapat mengubah Pauli ini menjadi Z dengan mempertimbangkan bahwa mana adalah gerbang Hadamard dan juga mana adalah gerbang fase . Bagaimana tepatnya saya harus menggunakan ini untuk mengimplementasikan misalnya $X$ $Y$ $HZH = X$ $H$ $S^{\dagger}HZHS =Y$ $S$ $i$

H = X \otimes Y

$H= X \otimes Y$

Bagaimana jika sekarang Hamiltonian berisi jumlah istilah dengan matriks Pauli? Sebagai contoh

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— Pam
sumber

3

Katakanlah Anda memiliki Hamiltonian dalam bentuk

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes ... \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ Ada konstruksi rangkaian langsung yang memungkinkan Anda menerapkan evolusi waktunya

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ . Caranya dasarnya adalah untuk menguraikan keadaan bahwa Anda berkembang menjadi komponen yang berada di

\pm 1

$\pm 1$ ruang eigen dari

H

$H$ . Kemudian, Anda menerapkan fase

e^{- i t}

$e^{-it}$ ke

+ 1

$+1$ eigenspace, dan fase

e^{- i t}

$e^{-it}$ ke

- 1

$-1$ eigenspace. Sirkuit berikut melakukan pekerjaan itu (dan menguraikan dekomposisi di akhir).

Saya mengasumsikan elemen gerbang fase di tengah menerapkan kesatuan

(\begin{array}{cc} e^{saya t} & 0 \\ 0 & e^{- saya t} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

Secara umum, jika Anda ingin mengembangkan beberapa Hamiltonian $H=H_1+H_2$ mana $H_1$ dan $H_2$ adalah dari bentuk sebelumnya, maka sejauh ini yang paling mudah adalah mendekomposisi evolusi sebagai

e^{- saya H t} \approx {(e^{- saya H_{1} t / M.} e^{- saya H_{2} t / M.})}^{M.}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$ untuk beberapa

M

$M$ besar (meskipun ada algoritma dengan perilaku penskalaan yang jauh lebih baik), dan masing-masing langkah kecil tersebut

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$ dapat diimplementasikan dengan rangkaian sebelumnya.

Konon, terkadang ada hal-hal cerdas yang bisa Anda lakukan. Contoh ekstra Anda,

H = X \otimes Y \otimes saya + Z \otimes saya \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$ adalah salah satu contohnya. Saya akan mulai dengan menerapkan rotasi kesatuan

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ untuk qubit 2 dan 3. Ini adalah setara dengan gerbang Hadamard, tetapi mengkonversi

Y

$Y$ ke

Z

$Z$ bukan

X

$X$ . Sekarang berhenti sejenak dan pikirkan. Jika qubit 2 dan 3 berada di 00, maka kami menerapkan

(X + Z)

$(X+Z)$ ke qubit 1. Untuk 01, itu

(X - Z)

$(X-Z)$ , untuk 10 itu

(Z - X)

$(Z-X)$ , dan untuk 11 itu

- (X + Z)

$-(X+Z)$ . Selanjutnya, mari kita terapkan kontrol-bukan dari qubit 2 ke qubit 3. Ini hanya memungkinkan elemen dasar sedikit. Sekarang dikatakan bahwa kita harus menerapkan Hamiltonian

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$ ke status qubit 1, jika qubit 2 dan 3 berada dalam status

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$ . Selanjutnya, ingat bahwa

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$ (Hadamard, bukan Hamiltonian), dan

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$ . Jadi, itu memberi kita cara mudah untuk mengkonversi antara dua bit Hamiltonian. Kami hanya akan mengganti kedua

X

$X$ dengan not-not yang dikendalikan oleh qubit 3. Demikian pula, kita dapat menggunakan identitas sirkuit di

mana kali ini kita akan mengganti

X

$X$ dengan not-not yang dikendalikan dari qubit 2 yang dikendalikan.

Secara keseluruhan, saya yakin simulasi ini terlihat rumit, tetapi tidak ada satu pun pemisahan menjadi beberapa langkah waktu yang mengakumulasi kesalahan saat Anda melanjutkan. Ini tidak akan berlaku sangat sering, tetapi perlu menyadari kemungkinan semacam ini.

— DaftWullie
sumber

Apa artinya faktor akar kuadrat dengan titik - gerbang?

— Enrique Segura

@ EnriqueSegura persis sama dengan yang lain yang baru saja Anda tanyakan: gerbang fase dengan sudut rotasi berlabel.

— DaftWullie

1

Caranya adalah bahwa jika kita memiliki Hamiltonian $H$ dengan diagonalisasi $H=UDU^\dagger$ , maka $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$ .

Secara khusus, jika Anda memiliki Hamiltonian yang merupakan produk dari Pauli's $H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ , (di mana untuk kesederhanaan kita menganggap $\sigma_i \neq I$ untuk semua $i$ ) maka kita dapat mendiagonalasi $H$ sebagai

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

Hasil dari:

e^{i t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{i t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

Sejak Pauli matriks yang mudah diterapkan pada komputer kuantum, dan kita sudah tahu bagaimana melakukan $e^{it Z\otimes Z}$ , kita kemudian dilakukan.

Jika Hamiltonian adalah jumlah dari produk Pauli, maka tidak ada solusi sederhana secara umum, tetapi Anda dapat menggunakan formula produk Lie yang terpotong pada sejumlah besar istilah untuk menguranginya ke masalah di atas.

— John
sumber

0

$e^{-\Delta t H}$

— George
sumber