Simulasikan evolusi hamilton


11

Saya mencoba mencari cara untuk mensimulasikan evolusi qubit di bawah interaksi orang Hamilton dengan istilah yang ditulis sebagai produk tensor dari matriks Pauli di komputer kuantum. Saya telah menemukan trik berikut dalam buku Nielsen dan Chuang yang dijelaskan dalam posting ini untuk seorang Hamiltonian dalam formulir

H=Z1Z2...Zn
.

Tetapi tidak dijelaskan secara rinci bagaimana simulasi untuk seorang Hamiltonian dengan ketentuan termasuk matriks Pauli atau akan bekerja. Saya mengerti bahwa Anda dapat mengubah Pauli ini menjadi Z dengan mempertimbangkan bahwa mana adalah gerbang Hadamard dan juga mana adalah gerbang fase . Bagaimana tepatnya saya harus menggunakan ini untuk mengimplementasikan misalnya XYHZH=XHSHZHS=YSsaya

H=XY

Bagaimana jika sekarang Hamiltonian berisi jumlah istilah dengan matriks Pauli? Sebagai contoh

H=X1Y2+Z2Y3

Jawaban:


3

Katakanlah Anda memiliki Hamiltonian dalam bentuk

H=σ1σ2σ2...σn
Ada konstruksi rangkaian langsung yang memungkinkan Anda menerapkan evolusi waktunya e-sayaHt . Caranya dasarnya adalah untuk menguraikan keadaan bahwa Anda berkembang menjadi komponen yang berada di ±1 ruang eigen dari H . Kemudian, Anda menerapkan fase e-sayat ke +1 eigenspace, dan fase e-sayat ke-1eigenspace. Sirkuit berikut melakukan pekerjaan itu (dan menguraikan dekomposisi di akhir). masukkan deskripsi gambar di sini Saya mengasumsikan elemen gerbang fase di tengah menerapkan kesatuan
(esayat00e-sayat).


Secara umum, jika Anda ingin mengembangkan beberapa Hamiltonian H=H1+H2 mana H1 dan H2 adalah dari bentuk sebelumnya, maka sejauh ini yang paling mudah adalah mendekomposisi evolusi sebagai

e-sayaHt(e-sayaH1t/M.e-sayaH2t/M.)M.
untuk beberapa M. besar (meskipun ada algoritma dengan perilaku penskalaan yang jauh lebih baik), dan masing-masing langkah kecil tersebute-sayaH1t/M. dapat diimplementasikan dengan rangkaian sebelumnya.


Konon, terkadang ada hal-hal cerdas yang bisa Anda lakukan. Contoh ekstra Anda,

H=XYsaya+ZsayaY
adalah salah satu contohnya. Saya akan mulai dengan menerapkan rotasi kesatuan U=Z+Y2 untuk qubit 2 dan 3. Ini adalah setara dengan gerbang Hadamard, tetapi mengkonversiYkeZbukanX. Sekarang berhenti sejenak dan pikirkan. Jika qubit 2 dan 3 berada di 00, maka kami menerapkan(X+Z)ke qubit 1. Untuk 01, itu(X-Z), untuk 10 itu(Z-X), dan untuk 11 itu-(X+Z). Selanjutnya, mari kita terapkan kontrol-bukan dari qubit 2 ke qubit 3. Ini hanya memungkinkan elemen dasar sedikit. Sekarang dikatakan bahwa kita harus menerapkan Hamiltonian
(-1)x2(X+(-1)x3Z)
ke status qubit 1, jika qubit 2 dan 3 berada dalam statusx2x3 . Selanjutnya, ingat bahwaX+Z=2H(Hadamard, bukan Hamiltonian), danX2HX=X-Z. Jadi, itu memberi kita cara mudah untuk mengkonversi antara dua bit Hamiltonian. Kami hanya akan mengganti keduaXdengan not-not yang dikendalikan oleh qubit 3. Demikian pula, kita dapat menggunakan identitas sirkuit di masukkan deskripsi gambar di sini mana kali ini kita akan menggantiXdengan not-not yang dikendalikan dari qubit 2 yang dikendalikan.

Secara keseluruhan, saya yakin simulasi masukkan deskripsi gambar di sini ini terlihat rumit, tetapi tidak ada satu pun pemisahan menjadi beberapa langkah waktu yang mengakumulasi kesalahan saat Anda melanjutkan. Ini tidak akan berlaku sangat sering, tetapi perlu menyadari kemungkinan semacam ini.


Apa artinya faktor akar kuadrat dengan titik - gerbang?
Enrique Segura

@ EnriqueSegura persis sama dengan yang lain yang baru saja Anda tanyakan: gerbang fase dengan sudut rotasi berlabel.
DaftWullie

1

Caranya adalah bahwa jika kita memiliki Hamiltonian H dengan diagonalisasi H=UDU , maka eitH=UeitDU .

Secara khusus, jika Anda memiliki Hamiltonian yang merupakan produk dari Pauli's H=σ1σn , (di mana untuk kesederhanaan kita menganggap σiI untuk semua i ) maka kita dapat mendiagonalasi H sebagai

H=(σ1σn)ZZ(σ1σn)

Hasil dari:

eitH=(σ1σn)eitZZ(σ1σn)

Sejak Pauli matriks yang mudah diterapkan pada komputer kuantum, dan kita sudah tahu bagaimana melakukan eitZZ , kita kemudian dilakukan.

Jika Hamiltonian adalah jumlah dari produk Pauli, maka tidak ada solusi sederhana secara umum, tetapi Anda dapat menggunakan formula produk Lie yang terpotong pada sejumlah besar istilah untuk menguranginya ke masalah di atas.


Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.