matriks kovarians dalam EKF?

16

Saya berjuang dengan konsep matriks kovarians. Sekarang, pemahaman saya untuk , , dan bahwa mereka menggambarkan ketidakpastian. Misalnya, untuk , ini menggambarkan ketidakpastian nilai x. Sekarang, pertanyaan saya tentang sisa sigma, apa yang mereka wakili? Apa artinya jika mereka nol? Saya bisa mengartikannya jika

Σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x θ} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y θ} \\ σ_{θ x} & σ_{θ y} & σ_{θ θ} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{y y}

$\sigma_{yy}$

σ_{θ θ}

$\sigma_{\theta \theta}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$ adalah nol, itu berarti saya tidak memiliki ketidakpastian tentang nilai x.

Catatan, saya membaca Prinsip Gerakan Robot - Teori, Algoritma, dan Implementasi oleh Howie Choset et. al., yang menyatakan itu

Dengan definisi ini adalah sama dengan varian . Untuk , jika , maka dan tidak tergantung satu sama lain. $\sigma_{ii}$ $\sigma_{i}^{2}$ $X_{i}$ $i ≠ j$ $\sigma_{ij} = 0$ $X_{i}$ $X_{j}$

Ini mungkin menjawab pertanyaan saya jika sisa sigma nol tetapi, saya masih bingung tentang hubungan antara variabel-variabel ini misalnya dan . Kapan ini terjadi? Maksud saya korelasi di antara mereka. Atau dengan kata lain, dapatkah saya menganggapnya nol? $x$ $y$

Buku lain yaitu FastSLAM: A Scalable Method ... oleh Michael dan Sebastian yang menyatakan

Elemen off-diagonal dari matriks kovarians dari Gaussian multivariat ini mengkodekan korelasi antara pasangan variabel keadaan.

Mereka tidak menyebutkan kapan korelasinya mungkin terjadi dan apa artinya?

kalman-filter noise

— CroCo
sumber

5

Berikut ini adalah satu kotak mainan di mana elemen off-diagonal tidak nol.

Pertimbangkan vektor keadaan yang mencakup posisi roda kiri dan kanan, alih-alih hanya satu posisi untuk robot. Sekarang jika roda kiri memiliki posisi 100m maka Anda tahu roda kanan juga akan memiliki posisi sekitar 100m (tergantung pada panjang gandar). Sebagai roda kiri meningkatkan posisi demikian juga roda kanan, secara umum. Ini bukan korelasi 1: 1 yang tepat, mis. Itu tidak berlaku tepat ketika robot berputar, tetapi secara keseluruhan itu berlaku.

Jadi di sini entri off-diagonal antara posisi x roda kiri dan posisi x roda kanan akan mendekati 1.

— ryan0270
sumber

Ok, jika model saya direpresentasikan sebagai titik yang bergerak dalam lingkungan planar (ei 2D), maka elemen off-diagonal adalah nol karena tidak ada korelasi antara elemen diagonal. Apakah asumsi ini benar? Dan bagaimana jika titik ini mendeteksi tengara yang memiliki dua koordinat (ei

), dapatkah saya juga mengasumsikan nol korelasi?

x, y

$x, y$

— CroCo

Untuk pertanyaan pertama Anda, ya Anda bisa membiarkan elemen off-diagonal nol. Untuk yang kedua, itu tergantung pada bagaimana Anda menanganinya. Jika Anda hanya menggunakan tengara untuk memperkirakan posisi Anda saat ini, tidak ada korelasi. Jika Anda menambahkan posisi tengara ke vektor negara (seperti yang umum di SLAM) maka mereka akan mulai mengembangkan korelasi di antara mereka sendiri.

— ryan0270

4

Untuk mendapatkan perasaan tentang matriks kovarians - tanpa masuk ke rincian matematika di sini - yang terbaik untuk memulai dengan matriks 2x2. Maka ingatlah bahwa matriks kovarians adalah perpanjangan dari konsep varians ke dalam kasus multivariat. Dalam kasus 1D, varians adalah statistik untuk variabel acak tunggal. Jika variabel acak Anda memiliki distribusi Gaussian dengan rata-rata nol, variansnya dapat dengan tepat menentukan fungsi kepadatan probabilitas.

Sekarang, jika Anda memperluas ini ke dua variabel, bukan satu, Anda dapat membedakan antara dua kasus. Jika dua variabel Anda independen, yang berarti hasil dari satu nilai tidak ada hubungannya dengan nilai lainnya, pada dasarnya sama dengan kasus 1D. Anda dan Anda memberikan varians dari dan bagian dari variabel acak Anda, dan akan menjadi nol. $\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

Jika variabel Anda tergantung ini berbeda. Dependen berarti ada hubungan antara hasil dan . Misalnya, Anda dapat memiliki bahwa setiap kali positif, secara umum lebih cenderung juga positif. Ini diberikan oleh nilai kovarian Anda . $x$ $y$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

Memberi contoh untuk robot dalam kasus 2D tanpa orientasi sedikit dibuat-buat, tetapi katakanlah Anda memiliki komponen acak di sepanjang arah perjalanan pada -aksi dan Anda tahu bahwa komponen ini juga menghasilkan penyimpangan pada sumbu lateral Anda ( ). Misalnya ini bisa menjadi roda yang rusak. Ini akan menghasilkan elips ketidakpastian yang diputar. Sekarang untuk misalnya ketika nanti Anda memiliki sesuatu yang mengukur posisi aktual Anda, Anda dapat memperkirakan distribusi ketidakpastian pada komponen Anda . $x$ $y$ $x$ $y$

$\theta$

$1 \sigma$

Ini juga berlaku dalam kasus 3D. Saya ingin mendapatkan lebih banyak matematika di sini, tetapi mungkin beberapa waktu kemudian.

— Jakob
sumber

Σ

$\Sigma$

x

$x$

y

$y$

1

@CroCo Saya pikir contoh yang Anda minta dijelaskan pada paragraf keempat dari jawabannya.

— Demetris