Apakah RRT * menjamin optimalitas asimptotik untuk metrik biaya izin minimum?

Algoritma perencanaan gerak berbasis sampel yang optimal, $\text{RRT}^*$ (dijelaskan dalam makalah ini ) telah terbukti menghasilkan jalur bebas-tabrakan yang menyatu ke jalur optimal seiring dengan meningkatnya waktu perencanaan. Namun, sejauh yang saya bisa lihat, bukti dan eksperimen optimalitas telah mengasumsikan bahwa metrik biaya jalur adalah jarak Euclidean dalam ruang konfigurasi. Bisakah juga menghasilkan properti optimalitas untuk metrik kualitas jalur lainnya, seperti memaksimalkan izin minimum dari hambatan di sepanjang jalur? $\text{RRT}^*$

Untuk mendefinisikan jarak minimum: untuk kemudahan, kita dapat mempertimbangkan robot titik bergerak di ruang Euclidean Untuk setiap konfigurasi yang ada di ruang konfigurasi bebas-tabrakan, tentukan fungsi yang mengembalikan jarak antara robot dan rintangan-C terdekat. Untuk path , izin minimum adalah nilai minimum untuk semua . Dalam perencanaan gerakan yang optimal, orang mungkin ingin memaksimalkan jarak minimum dari rintangan di sepanjang jalan. Ini berarti mendefinisikan beberapa metrik biaya sedemikian rupa sehingga $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ $c(\sigma)$ $c$ meningkat saat clearance minimum menurun. Satu fungsi sederhana adalah $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$ .

Dalam makalah pertama yang memperkenalkan $\text{RRT}^*$ , beberapa asumsi dibuat tentang metrik biaya jalur sehingga buktinya berlaku; salah satu asumsi terkait aditivitas metrik biaya, yang tidak berlaku untuk metrik izin minimum di atas. Namun, dalam artikel jurnal yang lebih baru yang menggambarkan algoritme, beberapa asumsi sebelumnya tidak terdaftar, dan tampaknya metrik biaya izin minimum mungkin juga dioptimalkan oleh algoritme.

Adakah yang tahu jika bukti untuk optimalitas dapat bertahan untuk metrik biaya clearance minimum (mungkin bukan yang saya berikan di atas, tetapi yang lain memiliki minimum yang sama), atau jika percobaan telah dilakukan untuk mendukung kegunaan algoritma untuk metrik seperti itu? $\text{RRT}^*$

— giogadi
sumber

Saya tidak terbiasa dengan metrik biaya izin minimum, meskipun dengan namanya saya mendapatkan ide umum. Apakah ini fungsi tertentu atau kelas fungsi?

— DaemonMaker

Pertanyaan bagus: karena metrik bervariasi tergantung pada robot, mari kita asumsikan bahwa kita sedang melihat robot titik holonomis yang bergerak di ruang Euclidean. Pada konfigurasi q apa pun, kita memiliki fungsi d (q) yang mengembalikan jarak antara robot titik dan rintangan C terdekat. Oleh karena itu, untuk lintasan dalam ruang konfigurasi, jarak minimum dari seluruh lintasan adalah nilai minimum d (q) untuk semua q di lintasan.

— giogadi

Meta-pertanyaan: kapan saya disarankan untuk mengedit pertanyaan asli dengan klarifikasi yang telah dijabarkan dalam komentar dan jawaban lainnya?

— giogadi

Ini adalah pertanyaan meta yang bagus dan akan mendapat lebih banyak respons dalam meta Robotika SE. ;) Namun, umumnya baik untuk mengedit pertanyaan untuk kejelasan. Saya terutama merekomendasikan melakukannya ketika jawaban yang diajukan tidak sesuai dengan pertanyaan yang dimaksud.

— DaemonMaker

Jawaban:

* Catatan, adalah gabungan jalur dan . Kemudian didefinisikan sebagai clearance minimum menyiratkan $a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Anda merujuk (dalam referensi 1):

Teorema 11: (Aditivitas Fungsi Biaya.) Untuk semua , , fungsi biaya c memenuhi hal-hal berikut: $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Yang telah menjadi (dalam referensi 3, Masalah 2):

Fungsi biaya dianggap monotonik, dalam arti bahwa untuk semua $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

Yang masih belum terjadi untuk jarak jarak minimum.

Pembaruan: Mengingat pembatasan santai pada biaya jalur, exp yang Anda sarankan (-min_clearance) tampaknya baik-baik saja.

— Josh Vander Hook
sumber

Jawaban Anda membuat saya sadar bahwa metrik seperti yang saya jelaskan itu sebenarnya tidak benar. Kami biasanya ingin MEMAKSIMALKAN clearance minimum atas suatu jalur, jadi sebenarnya biaya sebuah jalur harus MENINGKAT sebagai izin minimum dari suatu jalur MENURUNKAN. Fungsi biaya pertama yang ada dalam pikiran saya untuk ini adalah c (sigma) = 1 / min_clearance (sigma), tetapi ini meninggalkan fungsi yang tidak terdefinisi pada batas hambatan, dan saya percaya RRT * membutuhkan Q_free untuk ditutup agar bukti dapat bekerja . Kecuali masalah batas, fungsi biaya baru ini akan monoton seperti yang dibuktikan oleh bukti.

— giogadi

Saya kira fungsi biaya sederhana yang menghindari masalah batas bisa c (sigma) = -min_clearance (sigma), tapi saya tidak yakin apa yang mungkin memiliki metrik negatif lakukan ke bagian lain bukti RRT * ...

— giogadi

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

Kemungkinan metrik lain: c (sigma) = exp (-min_clear (sigma))

— giogadi

Saya suka fungsi biaya eksponensial terbaik.

— Josh Vander Hook

Dalam jawaban sebelumnya , kami menyetujui bahwa fungsi biaya didefinisikan sebagai

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

akan memuaskan properti yang diperlukan untuk RRT * untuk menghasilkan optimalitas asimptotik di bawah metrik ini.

Namun, setelah meninjau artikel IJRR yang menjelaskan RRT *, fungsi biaya ini secara teknis tidak memenuhi asumsi yang dibuat dalam artikel tersebut. Secara khusus, fungsi biaya ini melanggar properti boundedness , didefinisikan sebagai:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$ $q$ $\sigma_0$ $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

Saya bertanya-tanya apakah RRT * tidak akan menghasilkan solusi optimal asimptotik di bawah fungsi biaya seperti itu, atau apakah masih mungkin tetapi mungkin asumsi-asumsi itu menyederhanakan bukti optimalitas di koran.

— giogadi
sumber