Konvergensi dari pemecah iteratif klasik untuk sistem linier ditentukan oleh jari-jari spektral dari matriks iterasi, . Untuk sistem linear umum, sulit untuk menentukan parameter SOR yang optimal (atau bahkan bagus) karena kesulitan dalam menentukan jari-jari spektral dari matriks iterasi. Di bawah ini saya telah memasukkan banyak detail tambahan, termasuk contoh masalah nyata di mana berat SOR optimal diketahui.ρ(G)
Jari-jari spektral dan konvergensi
Jari-jari spektral didefinisikan sebagai nilai absolut dari nilai eigen magnitudo terbesar. Suatu metode akan konvergen jika dan radius spektral yang lebih kecil berarti konvergensi yang lebih cepat. SOR bekerja dengan mengubah pemisahan matriks yang digunakan untuk menurunkan matriks iterasi berdasarkan pilihan parameter bobot ω , semoga mengurangi jari-jari spektral dari matriks iterasi yang dihasilkan.ρ<1ω
Pemecahan matriks
Untuk pembahasan di bawah ini, saya akan menganggap bahwa sistem yang akan dipecahkan diberikan oleh
Ax=b,
dengan iterasi formulir
x(k+1)=v+Gx(k),
di mana adalah vektor, dan angka iterasi k dilambangkan x ( k ) .vkx(k)
SOR mengambil rata-rata tertimbang dari iterasi lama dan iterasi Gauss-Seidel. Metode Gauss-Seidel bergantung pada pemisahan matriks formulir
A=D+L+U
di mana adalah diagonal A , L adalah matriks segitiga bawah yang berisi semua elemen A tepat di bawah diagonal dan R adalah matriks segitiga atas yang mengandung semua elemen A secara ketat di atas diagonal. Iterasi Gauss-Seidel kemudian diberikan olehDALARA
x(k+1)=(D+L)−1b+GG−Sx(k)
dan matriks iterasi adalah
GG−S=−(D+L)−1U.
SOR kemudian dapat ditulis sebagai
x(k+1)=ω(D+ωL)−1b+GSORx(k)
dimana
GSOR=(D+ωL)−1( ( 1 - ω ) D - ω U ) .
Menentukan tingkat konvergensi dari skema iteratif benar-benar bermuara pada menentukan jari-jari spektral dari matriks iterasi ini. Secara umum, ini adalah masalah yang sulit kecuali Anda tahu sesuatu yang spesifik tentang struktur matriks. Ada beberapa contoh yang saya tahu di mana koefisien pembobotan yang optimal dapat dihitung. Dalam praktiknya, harus ditentukan dengan cepat berdasarkan pada konvergensi algoritma berjalan yang diamati (diperkirakan). Ini berfungsi dalam beberapa kasus, tetapi gagal dalam kasus lain.ω
SOR optimal
Satu contoh realistis di mana koefisien pembobotan optimal diketahui muncul dalam konteks penyelesaian persamaan Poisson:
∇2u = f i n Ω u = g o n ∂Ω
Mendiskritkan sistem ini pada domain bujur sangkar dalam 2D menggunakan perbedaan hingga orde kedua dengan spasi grid yang seragam menghasilkan matriks pita simetris dengan 4 pada diagonal, -1 tepat di atas dan di bawah diagonal, dan dua pita lagi -1 agak jauh dari diagonal. Ada beberapa perbedaan karena kondisi batas, tetapi itu adalah struktur dasar. Dengan matriks ini, pilihan optimal terbukti untuk koefisien SOR diberikan oleh
ω = 21 + dosa( πΔ x / L )
di mana adalah spasi grid dan L adalah ukuran domain. Melakukannya untuk kasus sederhana dengan solusi yang diketahui memberikan kesalahan berikut versus nomor iterasi untuk dua metode ini:Δ xL.
Seperti yang Anda lihat, SOR mencapai presisi mesin di sekitar 100 iterasi di mana titik Gauss-Seidel sekitar 25 kali lipat lebih buruk. Jika Anda ingin bermain-main dengan contoh ini, saya telah memasukkan kode MATLAB yang saya gunakan di bawah ini.
clear all
close all
%number of iterations:
niter = 150;
%number of grid points in each direction
N = 16;
% [x y] = ndgrid(linspace(0,1,N),linspace(0,1,N));
[x y] = ndgrid(linspace(-pi,pi,N),linspace(-pi,pi,N));
dx = x(2,1)-x(1,1);
L = x(N,1)-x(1,1);
%desired solution:
U = sin(x/2).*cos(y);
% Right hand side for the Poisson equation (computed from U to produce the
% desired known solution)
Ix = 2:N-1;
Iy = 2:N-1;
f = zeros(size(U));
f(Ix,Iy) = (-4*U(Ix,Iy)+U(Ix-1,Iy)+U(Ix+1,Iy)+U(Ix,Iy-1)+U(Ix,Iy+1));
figure(1)
clf
contourf(x,y,U,50,'linestyle','none')
title('True solution')
%initial guess (must match boundary conditions)
U0 = U;
U0(Ix,Iy) = rand(N-2);
%Gauss-Seidel iteration:
UGS = U0; EGS = zeros(1,niter);
for iter=1:niter
for iy=2:N-1
for ix=2:N-1
UGS(ix,iy) = -1/4*(f(ix,iy)-UGS(ix-1,iy)-UGS(ix+1,iy)-UGS(ix,iy-1)-UGS(ix,iy+1));
end
end
%error:
EGS(iter) = sum(sum((U-UGS).^2))/sum(sum(U.^2));
end
figure(2)
clf
contourf(x,y,UGS,50,'linestyle','none')
title(sprintf('Gauss-Seidel approximate solution, iteration %d', iter))
drawnow
%SOR iteration:
USOR = U0; ESOR = zeros(1,niter);
w = 2/(1+sin(pi*dx/L));
for iter=1:niter
for iy=2:N-1
for ix=2:N-1
USOR(ix,iy) = (1-w)*USOR(ix,iy)-w/4*(f(ix,iy)-USOR(ix-1,iy)-USOR(ix+1,iy)-USOR(ix,iy-1)-USOR(ix,iy+1));
end
end
%error:
ESOR(iter) = sum(sum((U-USOR).^2))/sum(sum(U.^2));
end
figure(4)
clf
contourf(x,y,USOR,50,'linestyle','none')
title(sprintf('Gauss-Seidel approximate solution, iteration %d', iter))
drawnow
figure(5)
clf
semilogy(EGS,'b')
hold on
semilogy(ESOR,'r')
title('L2 relative error')
xlabel('Iteration number')
legend('Gauss-Seidel','SOR','location','southwest')