Bagaimana keadaan terkini dalam memecahkan PDE parabola dimensi yang lebih tinggi (persamaan Schrödinger multi-elektron)

11

Bagaimana keadaan terkini dari seni untuk memecahkan PDE parabola dimensi tinggi (3-10) dalam domain kompleks dengan kutub sederhana (dari bentuk ) dan menyerap kondisi batas? $\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Secara khusus, saya tertarik untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger multi-elektron:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Untuk molekul diatomik dengan lebih dari 1 elektron.

parabolic-pde quantum-mechanics high-dimensional

— Andrew Spott
sumber

6

Solusi untuk persamaan adalah dalam Jika jumlah elektronnyacukup kecil,Anda bisa menggunakanmetodetradisionalapa saja. Seperti metode diskritisasi domain (Selisih Hingga, Elemen Hingga, Elemen Batas), atau metode pseudospektral. Karena memecahkan persamaan ini tidak lebih sulit daripada memecahkan persamaan gelombang multidimensi.

ψ \in C^{3 M} \times R^{+} .

$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$

Dalam kasus sistem yang lebih besar diperlukan beberapa trik untuk mendapatkan solusinya. Kami mengganti interaksi elektron-elektron untuk interaksi elektron dengan awan elektron (perkiraan bidang rata-rata dari sisanya), dan kemudian menyelesaikannya dengan cara yang konsisten sendiri (karena nonlinieritas yang berasal dari bidang rata-rata) istilah). Ini dilakukan dalam Hartree-Fock dan Density Functional Theory (DFT). Di mana persamaan diferensial asli diubah menjadi formulasi variasional.

DFT adalah metode yang paling umum saat ini, dan keuntungannya adalah bahwa semua persamaan dirumuskan dalam hal kerapatan elektron dan bukan dalam hal persamaan gelombang. Jadi, persamaan terletak di ruang 3 dimensi. Satu buku yang menjelaskan kedua metode ini adalah

Thijssen, Jos. Fisika komputasi. Cambridge University Press, 2007. Tautan Amazon .

— nicoguaro
sumber

3

Anda ingin menyelesaikan selama 3 hingga 10 sistem partikel (3D per partikel)? Sejauh yang saya ketahui, teori medan yang berarti tidak bekerja dengan baik untuk partikel yang sangat sedikit, tetapi tampaknya ada kerja DFT pada molekul diatomik.

Apakah ini sistem di mana Born-Oppenheimer valid? Jika demikian, saya mungkin cenderung untuk memperluas fungsi gelombang elektronik menggunakan kombinasi linear dari determinan Slater yang mungkin menggunakan grid tipis atau grid tipis spektral. Makalah ini mungkin bisa membantu .

Pilihan lain adalah mencoba menggunakan pendekatan yang mengikat ketat, meskipun fakta bahwa Anda menyebutkan kondisi batas menyerap menunjukkan Anda mungkin berpikir tentang masalah yang melibatkan ionisasi / disosiasi. TB sebagian besar akan berguna jika Anda mencoba mendekati keadaan tingkat rendah.

Mungkin sesuatu seperti metode Hartree-Fock yang bergantung waktu dan multi-konfigurasi dapat bekerja di sini MCTDHF .

Akhirnya, Anda bisa melihat metode quantum Monte Carlo. Ini adalah metode pertukaran model fungsional korelasi untuk atom tunggal yang diperoleh untuk melakukan perhitungan DFT. Sepertinya ada ekstensi poli-atom. (Saya kehabisan hak tautan).

— Greg
sumber

Dimensi 3-10, bukan partikel: khusus 1 hingga 3 elektron, 2 inti (1d untuk inti, 6d untuk partikel), tanpa perkiraan Born-Oppenheimer. Dan saya sedang melakukan hal-hal tipe ionisasi.

— Andrew Spott

1

$M$ $3M$ $N$ $N$ $N^{3M}$ $M$ $N=10$ $10^9$

Dari pertimbangan ini berikut bahwa tidak mungkin untuk mempertimbangkan masalah dengan semua elektron pada saat yang sama - Anda perlu membatasi diri pada satu atau dua elektron sekaligus. Ini secara alami mengarahkan Anda ke metode seperti metode Hartree Fock yang beriterasi pada elektron sambil menjaga sisa sistem tetap.

Saya tidak tahu bidangnya dengan baik, tetapi bayangkan ada sejumlah makalah ulasan yang sangat dikutip dan ditulis dengan baik tentang topik ini.

— Wolfgang Bangerth
sumber

10^{9}

$10^9$

Nah, sistem fermionik memiliki beberapa simetri (anti-) karena prinsip Pauli yang dapat Anda manfaatkan untuk secara signifikan mengurangi derajat angka kebebasan (alih-alih hypercube dimensi-3M, Anda hanya perlu mempertimbangkan simpleks yang sesuai, di antaranya kubus berisi salinan (3M)!). Jadi Anda hanya perlu fungsi berbasis binom (N, 3M) - masih eksponensial, tetapi tumbuh jauh lebih lambat. Itu mungkin menempatkan ujung bawah kisaran dalam jangkauan stasiun kerja yang gemuk.

— Christian Clason

Untuk sistem 3-elektron, mungkin. Tetapi Anda masih tidak dapat melakukan apa pun di luar ini. Itu tidak meninggalkan sejumlah besar molekul :-)

— Wolfgang Bangerth

Tapi pertanyaannya hanya menanyakan 3-10 variabel :) (Tapi poin Anda valid: untuk apa pun dengan lebih dari sejumlah kecil elektron, Anda perlu mempertimbangkan perkiraan model bidang seperti DFT; poin saya adalah antara "dapat dipecahkan dengan pendekatan standar "dan" hanya dapat dipecahkan kira-kira ", ada sejumlah masalah non-sepele yang" hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan non-standar ".)

— Christian Clason