Kerugian dari skema diskritisasi umum untuk simulasi CFD

Suatu hari, instruktur dinamika fluida komputasional saya tidak hadir dan dia mengirimkan kandidat doktoralnya untuk menggantikannya. Dalam ceramah yang dia berikan, dia tampaknya menunjukkan beberapa kelemahan yang terkait dengan berbagai skema diskritisasi untuk simulasi aliran fluida:

Metode Perbedaan Hingga: Sulit untuk memenuhi konservasi dan untuk menerapkan geometri tidak teratur

Metode Volume Hingga: Ini cenderung condong ke arah sisi dan fisika satu dimensi.

Metode Elemen Hingga: Sulit untuk menyelesaikan persamaan hiperbolik menggunakan FEM.

Galerkin Discontinuous: Ini adalah yang terbaik (dan terburuk) dari semua dunia.

Fluktuasi Pemisahan: Mereka belum berlaku secara luas.

Setelah ceramah, saya mencoba bertanya kepadanya dari mana dia mendapatkan informasi ini tetapi dia tidak menyebutkan sumber apa pun. Saya juga berusaha membuatnya mengklarifikasi apa yang dimaksud oleh DG sebagai "yang terbaik dan terburuk dari semua dunia", tetapi tidak bisa mendapatkan jawaban yang jelas. Saya hanya bisa berasumsi bahwa dia sampai pada kesimpulan ini dari pengalamannya sendiri.

Dari pengalaman saya sendiri, saya hanya dapat memverifikasi klaim pertama bahwa FDM sulit diterapkan pada geometri yang tidak beraturan. Untuk semua klaim lain, saya tidak memiliki pengalaman yang cukup untuk memverifikasinya. Saya ingin tahu seberapa akurat 'kerugian' yang diklaim ini untuk simulasi CFD secara umum.

Karakteristik yang diusulkan masuk akal dalam arti bahwa mereka secara kasar mewakili opini populer. Pertanyaan ini memiliki cakupan luas, jadi saya akan melakukan beberapa pengamatan sekarang. Saya dapat menguraikan tanggapan terhadap komentar. Untuk diskusi terkait yang lebih terperinci, lihat Apa kriteria untuk memilih antara perbedaan-terbatas dan elemen-terbatas?

• Metode beda hingga konservatif orde rendah sudah tersedia untuk kisi-kisi tidak terstruktur. Metode FD non-osilasi tingkat tinggi adalah masalah lain. Dalam skema Finite Difference WENO, fisika muncul dalam pemisahan fluks yang tidak tersedia untuk semua pemecah Riemann.

• Metode volume hingga bekerja dengan baik dalam berbagai dimensi, tetapi untuk lebih tinggi dari urutan kedua untuk struktur aliran umum, Anda memerlukan titik quadrature permukaan ekstra dan / atau melintang solver Riemann, sangat meningkatkan biaya relatif terhadap metode FD. Namun, metode FV ini dapat diterapkan pada jerat yang tidak mulus dan tidak terstruktur dan dapat menggunakan pemecah Riemann yang sewenang-wenang.

• Metode elemen hingga kontinu dapat digunakan untuk CFD, tetapi stabilisasi menjadi halus. Biasanya tidak praktis untuk memiliki metode yang tidak berosilasi dan stabilisasi seringkali membutuhkan informasi tambahan seperti entropi. Ketika matriks massa konsisten digunakan, loncatan waktu eksplisit menjadi jauh lebih mahal. Metode Continuous Galerkin tidak konservatif secara lokal, yang menyebabkan masalah guncangan yang kuat. Lihat juga Mengapa konservasi lokal penting ketika memecahkan PDE?

• Metode Galerkin terputus dapat menggunakan pemecah Riemann apa pun untuk menghubungkan elemen. Mereka memiliki sifat stabilitas nonlinear inheren yang lebih baik daripada metode umum lainnya. DG juga agak rumit untuk diimplementasikan dan biasanya tidak monoton di dalam suatu elemen. Ada pembatas untuk DG yang memastikan positif atau prinsip maksimum.

• Ada metode lain seperti Spectral Difference (misalnya Wang et al 2007 atau Liang et al 2009 ) yang berpotensi sangat efisien (seperti Finite Difference), sambil memiliki lebih banyak fleksibilitas geometris dan akurasi urutan tinggi.

Aliran bilangan Reynolds yang tinggi memiliki lapisan batas yang tipis, membutuhkan elemen yang sangat anisotropik untuk dipecahkan secara efisien. Untuk elemen-elemen yang tidak dapat dimampatkan atau hampir tidak dapat dipampatkan, ini menyebabkan masalah yang signifikan untuk banyak diskresiisasi. Untuk diskusi tambahan, sebagian besar dari perspektif metode elemen hingga, lihat Apa diskritisasi spasial yang berfungsi untuk aliran yang tidak dapat dikompres dengan jerat batas anisotropik?

Untuk masalah yang stabil, kemampuan untuk menggunakan multigrid nonlinear (FAS) secara efisien menarik. Metode FD, FV, dan DG umumnya dapat menggunakan FAS secara efisien karena, secara kasar,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Rasio ini sering lebih dari 10 untuk metode elemen hingga kontinu. Rasio ini tidak cukup untuk FAS yang efisien dengan smear yang pointwise atau elementwise. Juga diperlukan untuk memiliki diskritisasi eliptik- untuk digunakan untuk koreksi cacat, atau memodifikasi siklus multigrid. Untuk diskusi lebih lanjut, lihat Apakah ada algoritma multigrid yang memecahkan masalah Neumann dan memiliki tingkat konvergensi terlepas dari jumlah level? Jawaban positif untuk pertanyaan penelitian ini berpotensi menawarkan FAS efisien untuk elemen hingga berkelanjutan.$h$

Singkatnya untuk DG:

Konsekuensi dari pelonggaran persyaratan kontinuitas melintasi batas elemen adalah bahwa jumlah variabel dalam DG-FEM lebih besar daripada untuk pasangan kontinu untuk jumlah elemen yang sama.

Di sisi lain karena formulasi lokal (dalam hal elemen) kami memiliki keuntungan sebagai berikut:

• Istilah non-stasioner dan sumber sepenuhnya dipisahkan antara elemen. Matriks massa dapat dibalik pada level elemen.
• Paralelisasi lebih mudah.
• Penyempurnaan adaptif (h-, p- dan hp) dibuat mudah - tidak perlu penggantian nomor node global.