Mengapa konservasi lokal penting ketika memecahkan PDE?

30

Insinyur sering bersikeras menggunakan metode konservatif lokal seperti volume hingga, perbedaan hingga konservatif, atau metode Galerkin diskontinyu untuk menyelesaikan PDE.

Apa yang salah ketika menggunakan metode yang tidak konservatif secara lokal?

Oke, jadi konservasi lokal itu penting untuk PDE hiperbolik, bagaimana dengan PDE elips?

pde hyperbolic-pde fluid-dynamics

— Jed Brown
sumber

30

Dalam solusi PDE hiperbolik nonlinear, diskontinuitas ("guncangan") muncul bahkan ketika kondisi awal lancar. Di hadapan diskontinuitas, gagasan solusi hanya dapat didefinisikan dalam arti lemah. Kecepatan numerik guncangan bergantung pada kondisi Rankine-Hugoniot yang benar, yang pada gilirannya tergantung pada pemenuhan hukum konservasi integral secara numerik secara lokal. The Lax-Wendroff teorema menjamin bahwa metode numerik konvergen akan konvergen ke solusi lemah hukum konservasi hiperbolik hanya jika metode konservatif.

Anda tidak hanya perlu menggunakan metode konservatif, bahkan Anda perlu menggunakan metode yang menghemat jumlah yang tepat. Ada contoh yang bagus yang menjelaskan hal ini dalam "Metode Volume Hingga untuk Masalah Hiperbolik" LeVeque, Bagian 11.12 dan Bagian 12.9. Jika Anda mendiskritisasi persamaan Burgers

u_{t} + 1 / 2 (u^{2})_{x} = 0

$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$

melalui diskritisasi yang konsisten

U_{i}^{n + 1} = U_{i}^{n} - \frac{Δ t}{Δ x} U_{i}^{n} (U_{i}^{n} - U_{i - 1}^{n})

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$

Anda akan mengamati bahwa guncangan bergerak dengan kecepatan yang salah, tidak peduli seberapa banyak Anda memperbaiki grid. Artinya, solusi numerik tidak akan menyatu dengan solusi yang sebenarnya . Jika Anda malah menggunakan diskretisasi konservatif

U_{i}^{n + 1} = U_{i}^{n} - \frac{Δ t}{2 Δ x} ((U_{i}^{n})^{2} - (U_{i - 1}^{n})^{2})

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$

berdasarkan pada fluks-differencing, guncangan akan bergerak pada kecepatan yang benar (yang merupakan rata-rata keadaan di sebelah kiri dan kanan guncangan, untuk persamaan ini). Contoh ini diilustrasikan dalam notebook IPython ini yang saya tulis .

Untuk PDE hiperbolik linier, dan untuk jenis PDE lain yang biasanya memiliki solusi halus, konservasi lokal bukan merupakan bahan yang diperlukan untuk konvergensi. Namun, itu mungkin penting untuk alasan lain (misalnya, jika massa total adalah jumlah bunga).

— David Ketcheson
sumber

6

Saya pikir satu jawaban untuk pertanyaan Anda adalah bahwa komunitas tertentu hanya selalu menggunakan skema konservatif dan karenanya telah menjadi bagian dari "cara itu dilakukan". Orang mungkin berdebat apakah itu cara terbaik untuk melakukannya, tetapi itu sama berbuahnya dengan meminta orang Inggris mengemudi di sebelah kanan karena itu hanya akan lebih nyaman jika hanya ada di sisi standar.

u + K \nabla p = 0 \nabla \cdot u = f \partial_{t} S + u \cdot \nabla S = q .

$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$

h \to 0

$h\rightarrow 0$ , tetapi desakan untuk memastikan bahwa properti ini berlaku bahkan untuk ukuran mesh yang terbatas memang masuk akal.

— Wolfgang Bangerth
sumber

3

Seringkali, persamaan yang harus diselesaikan mewakili hukum konservasi fisik. Sebagai contoh, persamaan Euler untuk dinamika fluida adalah representasi dari konservasi massa, momentum, dan energi. Mengingat bahwa kenyataan yang mendasari pemodelan kita adalah konservatif, maka menguntungkan untuk memilih metode yang juga konservatif

Anda juga dapat melihat sesuatu yang mirip dengan medan elektromagnetik. Hukum Maxwell termasuk kondisi bebas divergensi untuk medan magnet, tetapi persamaan itu tidak selalu digunakan untuk evolusi medan. Metode yang melindungi kondisi ini (misalnya: transportasi terbatas) membantu mencocokkan fisika kenyataan.

Sunting: @hardmath menunjukkan bahwa saya lupa menangani bagian "apa yang bisa salah" dari pertanyaan (Terima kasih!). Pertanyaannya secara khusus merujuk pada insinyur, tetapi saya akan memberikan beberapa contoh dari bidang saya sendiri (astrofisika) dan berharap bahwa mereka membantu mengilustrasikan ide-ide yang cukup untuk menggeneralisasi apa yang mungkin salah dalam aplikasi teknik.

(1) Saat mensimulasikan supernova, Anda memiliki dinamika fluida yang terkait dengan jaringan reaksi nuklir (dan fisika lainnya, tetapi kami akan mengabaikannya). Banyak reaksi nuklir sangat bergantung pada suhu, yang (menurut perkiraan orde pertama) merupakan ukuran energi. Jika Anda gagal menghemat energi, suhu Anda akan terlalu tinggi (dalam hal ini reaksi Anda berjalan terlalu cepat dan Anda memasukkan lebih banyak energi dan Anda mendapatkan pelarian yang seharusnya tidak ada) atau terlalu rendah (dalam hal ini reaksi Anda berjalan terlalu lambat dan Anda tidak dapat menyalakan supernova).

(2) Saat mensimulasikan bintang biner, Anda perlu menyusun kembali persamaan momentum untuk menjadi pelestarian momentum sudut. Jika Anda gagal menghemat momentum sudut, maka bintang Anda tidak dapat mengorbit satu sama lain dengan benar. Jika mereka mendapatkan momentum sudut ekstra, mereka berpisah dan berhenti berinteraksi dengan benar. Jika kehilangan momentum sudut, mereka menabrak satu sama lain. Masalah serupa terjadi ketika mensimulasikan disk bintang. Pelestarian momentum (linier) diinginkan, karena hukum fisika menghemat momentum linier, tetapi kadang-kadang Anda harus meninggalkan momentum linier dan melestarikan momentum sudut karena itu lebih penting bagi masalah yang dihadapi.

Saya harus mengakui, meskipun mengutip kondisi medan magnet yang bebas divergensi, saya tidak sepengetahuan di sana. Kegagalan untuk mempertahankan kondisi bebas divergensi dapat menghasilkan monopole magnetik (yang kami tidak memiliki bukti saat ini), tapi saya tidak punya contoh bagus dari masalah yang mungkin menyebabkan dalam simulasi.

— Brendan
sumber

Metode yang tidak secara eksplisit memaksakan kondisi bebas divergensi (misalnya pada fungsi uji coba metode Galerkin) tampaknya menjadi ilustrasi yang baik tentang apa yang ditanyakan oleh Pertanyaan, tetapi itu akan menjadi perbaikan untuk membahas " salah "dalam pengaturan seperti itu. Saya tahu ada banyak makalah tentang hal itu dalam konteks Navier-Stokes yang tidak bisa ditekankan.

— hardmath

Terima kasih, @hardmath, untuk menunjukkan bahwa saya tidak membahas aspek "apa yang bisa salah" dari pertanyaan. Saya tidak menggunakan Navier-Stokes yang tidak bisa dimampatkan, tetapi saya memberikan beberapa contoh yang saya kenal. Saya tidak memiliki banyak pengetahuan tentang konservasi di PDE elips, jadi saya masih meninggalkan itu.

— Brendan

1

Hari ini saya menemukan tesis Skema EMAC untuk Simulasi Navier-Stokes, dan Aplikasi untuk Mengalir Badan Masa Lalu Bluff dan perhatikan Bagian 1.2 dari itu menjawab pertanyaan OP, setidaknya sebagian. Bagian yang relevan adalah:

Dipercaya secara luas dalam komunitas dinamika fluida komputasi ( CFD ) bahwa semakin banyak fisika dibangun ke dalam diskritisasi, semakin akurat dan stabil solusi diskritnya, terutama dalam interval waktu yang lebih lama. N. Phillips pada tahun 1959 [42] membangun contoh untuk persamaan vortisitas nonlinear barotropik (menggunakan skema beda hingga), di mana integrasi jangka panjang dari istilah konveksi menghasilkan kegagalan simulasi numerik untuk setiap langkah waktu. Dalam [4] Arakawa menunjukkan bahwa seseorang dapat menghindari masalah ketidakstabilan dengan integrasi dalam waktu yang lama jika energi kinetik dan enstropi (dalam 2D) dilestarikan dengan skema diskritisasi. … Pada tahun 2004, Liu dan Wang mengembangkan yang melestarikan helicity dan energi untuk aliran tiga dimensi. Dalam [35] , mereka menyajikan skema pelestarian energi dan helisitas untuk aliran axisymmetric. Mereka juga menunjukkan bahwa skema konservasi ganda mereka menghilangkan kebutuhan akan viskositas numerik nonfisik yang besar. ...

... Telah dikenal selama beberapa dekade dalam CFD, bahwa semakin banyak jumlah fisik yang dilestarikan oleh skema elemen hingga, semakin akurat prediksi, terutama dalam interval waktu yang lama. Dengan demikian solusi yang diberikan oleh skema yang lebih akurat secara fisik juga lebih relevan secara fisik. Jika seseorang dapat membeli mesh yang sepenuhnya terselesaikan dan langkah waktu yang sangat kecil, semua skema elemen hingga yang umum digunakan diyakini memberikan solusi numerik yang sama. Namun, dalam praktiknya seseorang tidak dapat membeli mesh yang sepenuhnya diselesaikan dalam simulasi 3D, terutama untuk masalah yang tergantung waktu. Sebagai contoh dalam bab 2 kita membutuhkan 50-60 ribu langkah waktu, di mana setiap langkah membutuhkan penyelesaian sistem linier yang jarang dengan 4 juta yang tidak diketahui. Ini membutuhkan 2-3 minggu waktu komputasi dengan kode yang sangat paralel pada 5 node dengan masing-masing 24 core.

— xzczd
sumber