Memecahkan sistem linear padat besar?

Adakah harapan dalam menyelesaikan sistem linear berikut secara efisien dengan metode berulang?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

dengan

$A=(\Delta - K)$ , di mana$\Delta$ adalah matriks yang sangat jarang dengan beberapa diagonal, yang timbul dari diskritisasi Operator Laplace. Di diagonal utamanya ada$-6$ dan ada$6$ diagonal lainnya dengan diagonal$1$.

$K$ adalahmatriks$\mathbb{R}^{n \times n}$ yang sepenuhnya terdiri dari satu.

Memecahkan $A=\Delta$ bekerja dengan baik dengan metode berulang seperti Gauss-Seidel, karena itu adalah matriks dominan diagonal yang jarang. Saya menduga bahwa masalah $A=(\Delta - K)$ sangat tidak mungkin untuk diselesaikan secara efisien untuk sejumlah besar $n$ , tetapi apakah ada trik untuk menyelesaikannya, dengan mengeksploitasi struktur $K$ ?

EDIT: Akan melakukan sesuatu seperti

$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // memecahkan untuk$x^{k+1}$ dengan Gauss-Seidel

$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

$\Delta$

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

Ini dibuat dengan cara berikut di matlab

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Gunakan sistem berbatasan

di mana adalah vektor kolom yang terdiri dari semua yang ada dan menyelesaikan sistem$\ee$

menggunakan soler iteratif atau langsung.

• Gunakan metode Krylov dan terapkan matriks sebagai (yaitu matriks jarang plus koreksi peringkat-1. Gunakan prekondisier , atau , terutama jika Anda ingin menggunakan penyelesaian langsung dengan , perbarui dengan rumus Sherman-Morrison .$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$