Banyak metode numerik untuk PDE hiperbolik didasarkan pada penggunaan pemecah Riemann. Pemecah seperti itu penting untuk menangkap gelombang kejut secara akurat. Ada berbagai jenis solver yang tersedia untuk sistem yang paling banyak dipelajari (misalnya, solver yang tepat, soloe Roe, solver HLL). Bagaimana saya harus memutuskan mana yang akan digunakan?
Jawaban:
Untuk solusi numerik PDE hiperbolik penggunaan pemecah Riemann adalah komponen penting dari metode penangkapan kejut konservatif untuk simulasi akurat masalah gelombang yang mungkin memiliki guncangan (lompatan diskontinyu dalam variabel yang dilestarikan). Untuk dapat memperoleh solusi yang akurat untuk masalah-masalah seperti itu, kita perlu menggunakan teknik-teknik upwinding yang tepat - pemecah Riemann bertanggung jawab untuk ini. Pemecah Riemann mencari solusi yang akurat untuk masalah antarmuka antara sel (fx. Dalam Volume Hingga) atau elemen (fx. Dalam Metode Elemen Hingga Galerkin Terputus). Solusi dari masalah antarmuka ini didasarkan pada solusi dari kedua sisi antarmuka dan berusaha untuk menggunakan ini sebagai dasar untuk rekonstruksi yang akurat dari fluks (numerik) (dalam hal variabel yang dilestarikan) di seluruh antarmuka.
Ada dua pendekatan standar untuk solusi masalah Riemann (lokal ke antarmuka) tersebut, yaitu, pemecah Riemann yang tepat dan perkiraan. Untuk banyak PDE, tidak ada solusi bentuk tertutup yang pasti dalam hal ini kita harus menggunakan perkiraan solver Riemann. Dalam praktiknya, mungkin juga terlalu mahal untuk secara tepat menyelesaikan masalah Riemann yang dalam hal ini mungkin lebih praktis untuk menggunakan perkiraan pemecah Riemann. Untuk alasan yang sama fluks tipe Lax-Freidrichs banyak digunakan sebagai cara sederhana.
Pada dasarnya, pilihan antara pemecah Riemann berkaitan dengan seberapa akurat seseorang berusaha mengambil mewakili kecepatan gelombang dari solusi dan efisiensi yang dihasilkan.
Itu tergantung masalah. Masalah Riemann didasarkan pada data dari kedua sisi antarmuka sel. Untuk merekonstruksi fluks pada antarmuka berdasarkan data ini, kita harus mengetahui informasi tentang struktur gelombang penuh PDE hiperbolik yang dimaksud. Hal ini membuat masalah Riemann tergantung pada masalah dan karena itu juga menjadi pilihan pemecah Riemann. Singkatnya, pemecah yang tepat berusaha untuk memperhitungkan struktur gelombang penuh, pemecah Roe didasarkan pada perkiraan lokal (dengan linierisasi dan rata-rata khusus) dari struktur gelombang lokal, pemecah HLL didasarkan pada memperkirakan dua kecepatan gelombang dominan di lokal struktur gelombang dan kemudian memaksakan konservasi dengan memuaskan kondisi Rankine-Hugoniot untuk menahan guncangan atau kontak diskontinuitas.
Dengan demikian, pilihan antara solver spesifik, solver yang tepat atau perkiraan solois Roe / HLL / etc tergantung pada pemogokan keseimbangan antara akurasi (dalam meniru fisika yang mendasari persamaan model) dan kebutuhan efisiensi. Pada akhirnya - seperti yang saya lihat - dalam aplikasi praktis seringkali persyaratan efisiensi yang menentukan penggunaan perkiraan solver Riemann (dari tipe Lax-Friedrichs).
Eksposisi yang baik untuk subjek diberikan oleh EF Toro dalam buku pelajarannya "pemecah Riemann dan metode numerik untuk dinamika fluida", Springer.
Saya telah memimpin untuk percaya bahwa untuk angka pesanan rendah seseorang membutuhkan pemecah Riemann berkualitas tinggi dan untuk pemesan angka tinggi seseorang dapat menggunakan pemecah Riemann berkualitas rendah. Secara intuitif ada beberapa FLOP yang diperlukan untuk menangkap fisika di bawah ini yang disemprot.
Dan, ya, tidak ada konten dalam jawaban ini dari perspektif metrik evaluasi ...