Metode mana yang dapat memastikan bahwa jumlah fisik tetap positif sepanjang simulasi PDE?

Kuantitas fisik seperti tekanan, kepadatan, energi, suhu, dan konsentrasi harus selalu positif, tetapi metode numerik terkadang menghitung nilai negatif selama proses solusi. Ini tidak oke karena persamaan akan menghitung nilai yang kompleks atau tidak terbatas (biasanya menabrak kode). Metode numerik mana yang dapat digunakan untuk menjamin bahwa jumlah ini tetap positif? Manakah dari metode ini yang paling efisien?

Metode yang paling umum adalah mengatur ulang nilai negatif ke beberapa angka positif yang kecil. Tentu saja, ini bukan solusi yang baik secara matematis. Pendekatan umum yang lebih baik yang mungkin berhasil dan mudah, adalah mengurangi ukuran langkah waktu Anda.

Nilai-nilai negatif sering muncul dalam solusi PDE hiperbolik, karena munculnya guncangan dapat menyebabkan osilasi, yang akan cenderung menciptakan nilai-nilai negatif jika ada keadaan hampa udara dekat guncangan. Menggunakan metode pengurangan variasi total (TVD) atau metode non-osilasi ( ENO, WENO ) lainnya dapat mengurangi kecenderungan ini. Metode-metode tersebut didasarkan pada penggunaan pembatas nonlinear untuk menghitung turunan dari solusi. Namun, Anda mungkin masih mendapatkan nilai negatif karena beberapa alasan:

• Jika Anda menggunakan metode garis dan menerapkan integrator waktu tingkat tinggi. Kebanyakan skema TVD terbukti TVD hanya dalam arti semi-diskrit atau dengan metode Euler. Untuk integrasi waktu pemesanan yang lebih tinggi, Anda harus menggunakan diskretisasi waktu pelestarian stabilitas tinggi (SSP) ; skema ini juga dikenal sebagai "kontraktual" atau "pelestarian monoton". Ada buku terbaru tentang masalah ini oleh Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu, dan saya sendiri.
• Jika Anda tidak menggunakan dekomposisi karakteristik lokal untuk sistem persamaan, solusi Anda tidak akan menjadi TVD (skema TVD hanya memiliki properti itu untuk masalah skalar). Jadi yang terbaik adalah merekonstruksi / interpolasi dalam variabel karakteristik.
• Jika Anda memiliki sistem nonlinier, nilai negatif dapat muncul bahkan jika Anda menggunakan dekomposisi karakteristik lokal. Misalnya, setiap pemecah Riemann yang dilinearisasi (seperti pemecah Roe) untuk persamaan air dangkal atau persamaan Euler dapat ditunjukkan untuk menghasilkan nilai negatif dalam kondisi yang cukup menantang. Solusinya adalah dengan menggunakan HLL solver (atau varian HLL); beberapa di antaranya terbukti positif.
• Skema TVD hanya urutan kedua; Skema non-osilasi tingkat tinggi seperti WENO tidak sepenuhnya memenuhi prinsip-prinsip TVD atau maksimum. Tetapi modifikasi baru dari skema tingkat tinggi itu; itu dikembangkan dalam beberapa makalah baru-baru ini oleh Xiangxiong Zhang (seorang siswa Chi-Wang Shu).

Ada, tentu saja, banyak pendekatan khusus lain untuk persamaan tertentu, seperti dalam kode GeoClaw David George, yang menggunakan pemecah Riemann dengan gelombang non-fisik ekstra untuk menegakkan positif.

Dengan asumsi kami sedang menyelesaikan persamaan hiperbolik tanpa syarat sumber dan dengan asumsi kami menyediakan kondisi awal fisik, memastikan skema numerik yang kami gunakan adalah Total Variation Diminishing adalah cara yang baik untuk memastikan "fisik" dari solusi yang dihitung. Karena skema TVD mempertahankan monotonisitas, tidak ada minimum atau maksimum baru yang akan dibuat dan solusinya akan tetap dibatasi oleh nilai awal yang mudah-mudahan kita atur dengan benar. Tentu saja masalahnya adalah bahwa skema TVD bukan yang paling jelas. Di antara skema linier, hanya skema urutan pertama adalah TVD (Godunov 1954). Jadi sejak 50-an, berbagai skema TVD non-linear telah dikembangkan untuk menggabungkan akurasi tinggi dan monotonitas untuk solusi persamaan hiperbolik.

Untuk aplikasi saya, menyelesaikan persamaan Navier-Stokes dengan gradien tekanan / densitas besar, kami menggunakan skema sentral MUSCL hibrida untuk menangkap gradien / diskontinuitas besar dan mempertahankan akurasi yang baik dari mereka. Skema MUSCL pertama (MUSCL merupakan kependekan dari Skema Hulu yang Berpusat pada Hulu untuk Hukum Konservasi) dirancang oleh Van Leer pada tahun 1979.

Jika Anda ingin tahu lebih banyak tentang subjek ini, silakan lihat karya-karya Harten, Van Leer, Lax, Sod, dan Toro.

Jawaban di atas berlaku untuk masalah yang tergantung waktu, tetapi Anda juga bisa menuntut kepositifan dalam persamaan eliptik sederhana. Dalam hal ini, Anda bisa memformulasikannya sebagai ketidaksetaraan variasi , memberikan batasan untuk variabel.

Dalam PETSc, ada dua pemecah VI. Satu menggunakan metode ruang dikurangi, di mana variabel dalam batasan aktif dihapus dari sistem yang harus dipecahkan. Yang lainnya menggunakan metode Newton semi-halus .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

$A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Umumnya, skema diskritisasi yang mengarah ke matriks-M disebut skema monoton dan ini adalah skema tersebut, yang mempertahankan non-negatif.